Un algorithme de calcul est une procédure réalisée au moyen de matériel, de dessins ou de symboles dans le but de trouver un résultat à une opération donnée. Derrière chaque algorithme se cache un raisonnement rigoureux tel que chaque étape peut être justifiée en fonction des propriétés des nombres ou des opérations. De plus, de façon analogique, il y a correspondance entre les algorithmes concrets, imagés ou symboliques. La seule différence, c’est le mode de représentation.
Il existe trois grandes catégories d’algorithmes : les algorithmes d’apprentissage, les algorithmes optionnels et les algorithmes courants.
Les algorithmes d’apprentissage
Ils sont conçus afin de s’assurer que chaque étape est justifiée. Ils sont inventés par les élèves ou présentés par les enseignants. Pour un adulte habile en calcul, ils semblent lourds et compliqués pour rien. C’est exact et le même phénomène existe lorsqu’on observe un enfant qui apprend à marcher ou à conduire une bicyclette. Il ne faut pas oublier qu’ils font partie d’un processus sans en être le terminus.
Voici un exemple d’algorithme d’apprentissage pour l’addition.
3 4 5
+ 2 7 8
5 1 3
6 2 3
Chaque trait représente une retenue ou un report. Cet algorithme procède de gauche à droite et permet, vers la fin de l’apprentissage, de trouver directement la réponse 623 sans noter préalablement 513 et les tirets.
Les algorithmes optionnels
Il s’agit de techniques qui rendent l’exécution des algorithmes courants plus simple. Habituellement, ils consistent en une modification des nombres de l’opération et, parfois, en une modification de l’opération elle-même.
Par exemple, au lieu de :
· 397 + 245, on peut effectuer 400 + 242;
· 400 – 238, on peut effectuer 399 – 237;
· 48 x 45, on peut effectuer 24 x 90;
· 696 ÷ 24, on peut effectuer 348 ÷ 12 ou 174 ÷ 6;
· ¾ divisé par ½, on peut multiplier ¾ par 2.
Il existe de nombreux exemples d’algorithmes optionnels, malheureusement ils sont surtout utilisés par les élèves et les adultes qui ont développés une compréhension supérieure des mathématiques. Grâce à cette compréhension supérieure, ces personnes simplifient leur travail en calcul et diminuent les risques d’erreurs, ce qui les avantage encore plus.
Les algorithmes courants
On les appelle aussi algorithmes traditionnels. Ils sont l’aboutissement du travail d’apprentissage. Si, lors de cet apprentissage, aucune étape n’a été omise, non seulement l’élève pourra calculer efficacement mais en plus il pourra justifier chaque étape de son algorithme. Par exemple expliquer pourquoi il change 6 ÷ ½ par 6 x 2.
Les algorithmes traditionnels sont habituellement perçus comme une panacée, des incontournables démontrant, lorsqu’ils sont exécutés adéquatement, que l’élève a compris l’essentiel des mathématiques. Ainsi, le québécois francophones considère sa technique de division des entiers comme la technique de division des entiers. Le québécois anglophones aura la même perception pour sa technique, laquelle est différente de celle des francophones. Pendant ce temps, l’asiatique aura la même opinion de son algorithme de division effectué sur un boulier.
Plus intéressants encore sont les algorithmes courants et, souvent inconscients, utilisés en calcul mental surtout. Vous remettez un billet de vingt dollars afin de régler une facture de 14,78 $. Combien doit-on vous rendre? Calculez-le mentalement avant de poursuivre votre lecture.
Si vous avez une expérience de caissière ou de caissier, il est probable que vous ayez d’abord pensé qu’il faut remettre 22 ¢ afin de compléter le dollar et ensuite cinq dollars puisque 15 $ + 5 $ = 20 $. Mais si vous n’avez jamais occupé un tel poste, vous avez probablement pensé que vous deviez recevoir un peu plus que cinq dollars. Vous avez ensuite calculé les vingt-deux cents restantes. Vous avez calculé de gauche à droite malgré ce que l’école vous a appris.
Si vous visitez www.defimath.ca , sur la page d’accueil, vous trouverez un lien pour notre dossier spécial sur les algorithmes. Quelques algorithmes sont présentés en établissant des liens entre l’algorithme symbolique et l’algorithme concret. On y voit l’algorithme d’apprentissage et son aboutissement, l’algorithme courant. À l’occasion des algorithmes optionnels sont aussi présentés.
Que pensez-vous de l’importance d’associer chaque algorithme symbolique à son correspondant concret ? Que pensez-vous d’initier les élèves aux algorithmes optionnels ? Que pensez-vous d’accorder à l’élève le droit d’utiliser l’algorithme de son choix, ce qui inclut, lorsqu’ils sont efficaces, les algorithmes optionnels? Que pensez-vous de n’exiger le calcul efficace qu’à la fin du processus d’apprentissage, c’est-à-dire après une solide exploration de quelques algorithmes d’apprentissage et de quelques algorithmes optionnels mais surtout après que l’élève soit capable d’associer entre eux algorithmes concrets et algorithmes symboliques, tout en étant capable d’en justifier chaque étape ?
À vous !
Robert Lyons
dimanche 14 décembre 2008
dimanche 7 décembre 2008
Simple et généralisable
Les difficultés les plus nombreuses et les plus tenaces en mathématiques proviennent du fait que certains concepts sont présentés et développés pendant plusieurs mois ou années autour de quelques cas particuliers du concept étudié. C’est ce qui arrive lorsqu’on enseigne aux élèves que 5 – 7 est impossible alors que 7 – 5 est possible; que la multiplication est une addition répétée; que diviser c’est partager ou mesurer; que les exposants représentent une multiplication répétée; qu’un sommet se situe au point de rencontre de deux arêtes…
Les erreurs et difficultés qui découlent de ce qui précède sont les suivantes.
- 35 – 17 = 22, qui est l’erreur la plus fréquente en calcul.
- Incapacité à comprendre :
· que ½ × ½ = ¼ ou que (-3) × (-4) = 12 ;
· que 1 $ ÷1/2 = 2 $ ;
· que 60 = 1
· que le cône a effectivement un sommet (un apex est un sommet remarquable…)
Il me semple qu’il existe deux possibilités afin d’éviter que des aspects particuliers d’un concept deviennent, pour l’élève, le concept lui-même.
Première possibilité : Présenter dès le début au moins un cas de chaque type d’applications du concept.
Deuxième possibilité : Partir d’une schématisation à laquelle toutes les applications du concept puissent être associées.
La première possibilité me semble irréaliste puisqu’il existe trop de types d’applications de certains concepts pour qu’il soit possible de les évoquer de façon exhaustive et d’en tirer une définition générale correcte. D’ailleurs, une définition correcte de la multiplication, par exemple, ressemblerait à «une opération associative, commutative, distributive sur l’addition…» Ouf ! Ce n’est pas avec une définition semblable que le concept de multiplication deviendra accessible.
La seconde possibilité me semble beaucoup plus réaliste. Une sorte de schématisation ou d’image mentale, toujours la même, pour toute la fonction additive, une autre pour toute la fonction multiplicative, une autre pour tous les types d’exposants… Une image mentale pouvant être un dessin ou une disposition particulière à moins que ce ne soit une petite chansonnette ou un ensemble de gestes familiers.
En guise d’exemple, la fonction additive peut toujours être illustrée sur un axe. Le nom de cet axe est le dénominateur commun de l’addition ou de la soustraction à effectuer. Sur l’axe des x, on additionne ou on soustrait des x : 5x – 2x = 3x. Sur l’axe des cinquièmes, on additionne ou on soustrait des cinquièmes.
Par contre, il ne peut y avoir de dénominateur commun en multiplication ou en division : 3 m × 4 m = 12 m2. Cela implique que la fonction multiplicative ne peut être illustrée sur un seul axe. Il en faudra deux et l’on formera un rectangle. Or le rectangle peut illustrer tous les problèmes impliquant la division et la multiplication.
Bref, la fonction multiplicative serait fortement associée au rectangle et, par la suite, toutes ses applications le seraient aussi. De la même façon, la fonction additive serait associée à des déplacements sur un axe.
En guise d’exemples : la multiplication consiste à trouver l’aire d’un rectangle dont les côtés sont connus; en division, il faut trouver un côté alors que l’aire et l’autre côté sont connus; extraire la racine carrée, c’est trouver la longueur du côté d’un carré dont l’aire est connue; factoriser, c’est trouver les côtés possibles d’un rectangle dont l’aire est connue.
Connaissant l’espace parcouru par un mobile en un temps donné, la vitesse de ce mobile correspond au côté d’un rectangle dont l’aire représente l’espace parcouru et la longueur, le temps du déplacement. Il faut donc effectuer une division. En électricité, le voltage est trouvé en multipliant l’ampérage par la résistance. L’aire du rectangle représente donc le voltage et les côtés représentent l’ampérage et la résistance. À l’épicerie, si un demi-kilogramme de viande coûte quatre dollars alors l’aire du rectangle représentera le prix de ce demi-kilogramme, soit quatre dollars, la hauteur représentera le nombre de kilogrammes achetés, ici un demi et la longueur représentera le prix d’un kilogramme, soit huit dollars. On aura donc : 4$ ÷ ½ = 8$ soit le prix payé divisé par le nombre de kilogrammes achetés, ce qui conduit à trouver le prix d’un kilogramme.
À vous!
Robert Lyons
Les erreurs et difficultés qui découlent de ce qui précède sont les suivantes.
- 35 – 17 = 22, qui est l’erreur la plus fréquente en calcul.
- Incapacité à comprendre :
· que ½ × ½ = ¼ ou que (-3) × (-4) = 12 ;
· que 1 $ ÷1/2 = 2 $ ;
· que 60 = 1
· que le cône a effectivement un sommet (un apex est un sommet remarquable…)
Il me semple qu’il existe deux possibilités afin d’éviter que des aspects particuliers d’un concept deviennent, pour l’élève, le concept lui-même.
Première possibilité : Présenter dès le début au moins un cas de chaque type d’applications du concept.
Deuxième possibilité : Partir d’une schématisation à laquelle toutes les applications du concept puissent être associées.
La première possibilité me semble irréaliste puisqu’il existe trop de types d’applications de certains concepts pour qu’il soit possible de les évoquer de façon exhaustive et d’en tirer une définition générale correcte. D’ailleurs, une définition correcte de la multiplication, par exemple, ressemblerait à «une opération associative, commutative, distributive sur l’addition…» Ouf ! Ce n’est pas avec une définition semblable que le concept de multiplication deviendra accessible.
La seconde possibilité me semble beaucoup plus réaliste. Une sorte de schématisation ou d’image mentale, toujours la même, pour toute la fonction additive, une autre pour toute la fonction multiplicative, une autre pour tous les types d’exposants… Une image mentale pouvant être un dessin ou une disposition particulière à moins que ce ne soit une petite chansonnette ou un ensemble de gestes familiers.
En guise d’exemple, la fonction additive peut toujours être illustrée sur un axe. Le nom de cet axe est le dénominateur commun de l’addition ou de la soustraction à effectuer. Sur l’axe des x, on additionne ou on soustrait des x : 5x – 2x = 3x. Sur l’axe des cinquièmes, on additionne ou on soustrait des cinquièmes.
Par contre, il ne peut y avoir de dénominateur commun en multiplication ou en division : 3 m × 4 m = 12 m2. Cela implique que la fonction multiplicative ne peut être illustrée sur un seul axe. Il en faudra deux et l’on formera un rectangle. Or le rectangle peut illustrer tous les problèmes impliquant la division et la multiplication.
Bref, la fonction multiplicative serait fortement associée au rectangle et, par la suite, toutes ses applications le seraient aussi. De la même façon, la fonction additive serait associée à des déplacements sur un axe.
En guise d’exemples : la multiplication consiste à trouver l’aire d’un rectangle dont les côtés sont connus; en division, il faut trouver un côté alors que l’aire et l’autre côté sont connus; extraire la racine carrée, c’est trouver la longueur du côté d’un carré dont l’aire est connue; factoriser, c’est trouver les côtés possibles d’un rectangle dont l’aire est connue.
Connaissant l’espace parcouru par un mobile en un temps donné, la vitesse de ce mobile correspond au côté d’un rectangle dont l’aire représente l’espace parcouru et la longueur, le temps du déplacement. Il faut donc effectuer une division. En électricité, le voltage est trouvé en multipliant l’ampérage par la résistance. L’aire du rectangle représente donc le voltage et les côtés représentent l’ampérage et la résistance. À l’épicerie, si un demi-kilogramme de viande coûte quatre dollars alors l’aire du rectangle représentera le prix de ce demi-kilogramme, soit quatre dollars, la hauteur représentera le nombre de kilogrammes achetés, ici un demi et la longueur représentera le prix d’un kilogramme, soit huit dollars. On aura donc : 4$ ÷ ½ = 8$ soit le prix payé divisé par le nombre de kilogrammes achetés, ce qui conduit à trouver le prix d’un kilogramme.
À vous!
Robert Lyons
Inscription à :
Articles (Atom)
