dimanche 22 février 2009


Au préscolaire : la non-contradiction (1)

Un des fondements incontournables des mathématiques est la non-contradiction. Cette propriété essentielle est à la base de toutes les preuves, démonstrations, explications et solutions de problèmes mathématiques à tel point que l’incapacité à reconnaître certaines contradictions typiques entre quatre et sept ans peut signaler des apprentissages futurs très limités.

Normalement, le cerveau humain en santé sursaute face à une contradiction et cherche à la résoudre. Or, chez certaines personnes, la contradiction ne dérange pas, elle n’est pas perçue. Il semble que ce problème soit d’ordre neurologique et que les meilleures stratégies pédagogiques et didactiques ne puissent en venir à bout. Heureusement, seulement un individu sur trois cents environ semble en souffrir. Ces individus peuvent être qualifiés correctement d’illogiques. Plusieurs fois cependant on qualifie d’illogiques des élèves dont la logique est peu développée ou des élèves logiques dont la faiblesse est plutôt de nature analogique (Voir Mathadore 301).

Il y a donc lieu de dépister, dès le préscolaire, les enfants qui ne sursautent pas devant des contradictions évidentes. Dans ce but, il faut leur proposer des problèmes qui les conduisent à des solutions contradictoires. En faisant ressortir par la suite ces solutions contradictoires, on observe les réactions de l’élève. S’il passe d’une solution à une autre plus de deux fois sans sembler troublé, il y a lieu de penser que son cerveau accepte la contradiction et, conséquemment, que cet élève sera très limité lors de ses apprentissages en mathématiques surtout. Lorsque ces élèves ne sont pas perçus comme différents, ils conduisent trop d’excellentes enseignantes à douter de leurs capacités pédagogiques, c’est inacceptable. Nous le répétons, la cause du problème est de nature neurologique et même la médecine ne peut y remédier actuellement. Que faire avec ces enfants? D’abord, ajuster nos exigences, ils peuvent apprendre à se débrouiller avec un minimum d’encadrement, cependant, les raisonnements mathématiques, mêmes élémentaires, seront difficiles et, parfois, inaccessibles. Il faudra donc se fier à leur mémoire afin de leur apprendre des trucs, des méthodes, des habitudes qui leur permettront une certaine autonomie dans leur vie quotidienne. Il faudra cependant leur proposer les mêmes démarches que celles qui sont proposées aux autres élèves, une erreur de diagnostic étant toujours possible. Il faut alors être conscient de la haute probabilité d’un échec, tout en espérant la réussite.

Voici une première activité que nous utilisons en vue de dépister ces élèves.

Le triangle bleu

Matériel : Quelques blocs logiques dont au moins deux triangles bleus, un triangle jaune, un triangle rouge, un carré bleu, un carré rouge et quelques cercles.

Remettez les blocs à l’élève. Tendez vos mains espacées vers lui et dites-lui qu’il doit placer les triangles dans votre main droite et les blocs bleus dans l’autre main. Assurez-vous qu’il comprend bien cette consigne et qu’il sait où placer les blocs bleus et les triangles.

Les seuls blocs qui posent un problème sont les triangles bleus. Si l’élève perçoit le problème, il vous demandera quoi faire avec ces pièces, il réagit à la contradiction, il fonctionne logiquement Chez l’enfant de quatre à sept ans, il arrive souvent qu’il ne perçoive pas la contradiction lorsqu’il place un triangle bleu. S’il le place dans la main des «bleus», demandez-lui pourquoi. Il dira que c’est dans cette main qu’il faut placer les bleus. Demandez-lui de quelle forme est ce bloc. Il dira que c’est un triangle. Rappelez-lui alors que les triangles vont dans l’autre main. Il peut alors percevoir la contradiction. Si ce n’est pas le cas, il placera le bloc dans l’autre main.

Demandez-lui alors pourquoi il a placé ce bloc dans cette main, il dira que c’est un triangle. Demandez-lui quelle est la couleur de ce bloc. Il dira qu’il est bleu. Rappelez-lui que les bleus vont dans l’autre main. Certains élèves perçoivent alors la contradiction en mentionnant que ce bloc devrait aller dans les deux mains ou encore en voulant l’exclure de la classification, ce que vous refuserez.

Si l’élève change le bloc de main sans sourciller, recommencez le même manège une troisième et dernière fois. S’il ne perçoit pas la contradiction, cela augure mal. Dans ce cas, il faut lui administrer encore une ou deux autres épreuves portant sur des sujets différents afin de vérifier votre diagnostic. Nous en verrons d’autres la semaine prochaine.

Ce que nous venons de vérifier n’est pas le développement logique de l’élève mais sa capacité à agir logiquement. Il est possible qu’un élève logique éprouve du retard dans le développement de sa logique, mais s’il réagit à la contradiction, ce retard peut être comblé rapidement. En fait, ce retard résulte habituellement d’un manque de stimulations au moyen de certains types de problèmes. Le problème du triangle bleu est un de ces problèmes.

Si les stades de Piaget vous sont familiers, vous remarquerez que ces élèves atteignent ces stades vers la fin de la période pendant laquelle ils doivent y accéder. Présenter aux élèves du préscolaire des activités qui vérifient et développent leur pensée logique leur permet de développer un outil d’apprentissage essentiel. De façon imagée, on se préoccupe de vérifier d’abord si l’élève possède un bon coffre d’outils (réagit-il face à une contradiction), ensuite on développe son habileté à utiliser ses outils (progression dans les stades du développement de la logique). Plus tard, on se préoccupera des œuvres qu’il construira avec ses outils (concepts, habiletés et connaissances mathématiques).

À mon avis, au préscolaire nous devons nous préoccuper du «coffre d’outils» et de l’habileté à s’en servir, c’est dans ce sens que je proposais de développer la pensée analogique il y a quelques semaines et c’est aussi pour cette raison que je propose cette semaine de se préoccuper du fonctionnement logique de l’élève. Certes, une telle orientation conduit à des résultats moins spectaculaires que d’enseigner le dénombrement, le groupement ou encore l’addition et la soustraction sur de petits nombres, mais cela permet de s’assurer que l’élève a développé suffisamment certains outils d’apprentissage et a acquis certaines perceptions qui l’assisteront tout au long de sa scolarité en mathématiques. Ce qui avantage vraiment certains élèves est qu’ils perçoivent différemment des autres leur travail en apprentissage mathématique.


Robert Lyons

dimanche 15 février 2009

Au préscolaire : le groupe analogique (2)

Ce qui me semble le plus important à développer au préscolaire est constitué par un groupe de manifestations qui nécessitent que l’ensemble d’une situation soit prise en compte. Il s’agit d’habiletés complexes telles la créativité, l’esprit de synthèse, l’autonomie, l’humour, la compréhension. Ces habiletés vont au-delà de ce qui est directement perçu, elles interprètent, elles «colorent» l’environnement. Ce qui en ressort est souvent surprenant.

Au préscolaire, nous devrions donc faire vivre aux élèves des activités semblables aux suivantes.

1. Jeux de rôles

L’élève joue à faire comme s’il était :

a) un animal;
b) une personne qu’il connait… voilà une excellente façon d’apprendre comment ils nous perçoivent, une façon de mieux nous connaître… si vous osez;
c) une plante;
d) un objet : un ballon, une porte, un instrument de musique, une automobile…;
e) le conducteur d’une automobile, un danseur, un joueur de flûte, un sportif, une personne qui fait du ménage ou un repas…;
f) une personne triste, joyeuse, fatiguée, une personne qui a peur…;

2. Que faire si…

a) la baignoire déborde;
b) tu veux entrer chez toi et les portes sont verrouillées;
c) il y a un gros orage;
d) ça sent le feu chez toi;
e) tu as de la peine;
f) tu as un jouet qui ne fonctionne plus.

3. Que pourrais-tu faire avec :

a) une vieille chaussure;
b) un petit coffret de bois;
c) une assiette en aluminium;
d) un bout de corde;
e) de la pâte à modeler;
f) des rubans de plusieurs couleurs.

4. À quoi te fait penser :

a) la couleur verte (blanche, bleue…);
b) un triangle;
c) un son aigu (grave);
d) une rivière (un lac, une montagne);
e) une boîte;
f) une marionnette;
g) un instrument de musique;
h) un gâteau.

5. Que veut-on dire par :

a) la tête (ou le pied) d’un arbre;
b) le cœur de la forêt;
c) une colère noire;
d) une idée brillante;
e) une peur bleue;
f) une tête dure;

6. Que se passerait-il :

a) s’il n’y avait plus d’arbres;
b) si rien n’était transparent (n’oubliez pas l’air…);
c) si l’eau ne gelait plus;
d) si nous étions tous pareils.

7. Et aussi :

- Racontez le début d’une histoire aux élèves et demandez-leur d’imaginer la suite.
- Demandez-leur de modifier une histoire connue (Que serait-il arrivé si les trois petits cochons s’étaient abrités dans une tente?).
- Montrez-leur une partie de la photo d’un objet et demandez-leur d’identifier l’objet.
- Demandez-leur d’inventer une histoire dans laquelle figureraient tel personnage connu, un pot de fleur et une bicyclette.
- Demandez-leur d’imaginer ce que serait leur vie sans l’électricité.
- Lorsqu’ils vous questionnent, au lieu de donner une réponse valable, donnez-leur un choix de réponses, quelques-unes étant plausibles d’autres absurdes.
- Jouez-leur des tours afin qu’ils se questionnent avant de vous suivre aveuglément.
- Montrez-leur des illustrations où figurent des illusions d’optique et demandez-leur d’en discuter. Par exemple, les rails de chemin de fer semblent se rapprocher à l’horizon, est-ce possible.

Bref, permettez-leur de «voir» et de penser au-delà des apparences. En résolution de problèmes, en compréhension de textes, la connaissance des données du texte et des questions à résoudre ne suffit pas, il faut imaginer l’ensemble dans lequel ces données jouent un rôle.

Que pensez-vous de prioriser le développement des facultés analogiques au préscolaire ?

À vous !

Robert Lyons

dimanche 8 février 2009

Vers un programme pour le préscolaire

Depuis que les enfants de cinq ans fréquentent l’école à temps plein, la tendance à débuter, dès le préscolaire, les apprentissages amorcés autrefois en première année, s’est généralisée.

Pendant les années soixante-dix, proposer le début «précoce» de ces apprentissages était presque considéré comme scandaleux, empêchant les élèves de cinq ans «de vivre leur vie d’enfant». Pour une raison inconnue, à six ans, lorsque l’élève amorçait sa première année, il était alors accepté et nécessaire de mettre fin à cette «vie d’enfant».

Par ailleurs, les garderies et les maternelles quatre ans se sont multipliées et, dans ces établissements, les activités courantes des classes préscolaires publiques ont été de plus en plus exploitées. Ceci, en plus de la transformation de classes préscolaires à mi-temps en classes à temps plein, a placé ces classes devant un vide en ce qui concerne les activités de type mathématique. Il en est résulté de nouvelles activités qui ne devaient ni répéter ce que les élèves de cinq ans avaient vu ni empiéter sur le programme de première année. Ces activités ne me semblent pas toujours adéquates.

En ce sens, une activité très répandue au préscolaire s’appelle le jeu des cent jours. En gros, on tente d’apprendre aux élèves à compter et à dénombrer jusqu’à cent en utilisant le groupement par dix tel que ce qui sera enseigné en première année. Malheureusement, il s’agit d’un des pires choix possibles. Voyons cela de plus près.

Chaque jour, les élèves placent un bâtonnet, qui représente un jour, à un endroit prévu à cet effet. Jusque là, aucun problème, mais la suite, laquelle varie certainement d’une classe à une autre, peut représenter certains risques de problèmes d’apprentissages éventuels. Il faut bien comprendre que, selon l’utilisation de l’activité, les risques peuvent être ou non présents.

Premier risque – le groupement

Lorsque, après dix jours, les élèves attachent des bâtonnets afin de former leur première dizaine, ils posent un geste qui n’a aucune pertinence. En fait, le groupement sert à mettre de l’ordre lors du dénombrement de quantités suffisamment grandes pour qu’une erreur puisse subvenir et lorsqu’il est plus rapide de faire des regroupements et de dénombrer ensuite plutôt que de simplement recommencer le dénombrement. D’après nos recherches, enfants comme adultes ressentent le besoin de regrouper lorsque les éléments à dénombrer sont d’au moins trente à soixante. Cela signifie que le groupement, lorsque seulement une dizaine d’éléments sont présents, doit être habituellement imposé et sa pertinence n’est pas perçue par l’élève. Le risque ? Qu’il considère que les mathématiques sont souvent constituées d’actions difficiles à justifier et qu’il faille souvent attendre que des consignes lui soient données.

Deuxième risque – la numération écrite

L’activité des cent jours utilise habituellement un tableau où figurent les nombres de 1 à 100. Or, derrière ces nombres se cachent des concepts souvent inconnus de l’élève de cinq ans. Prenons les nombres vingt-quatre (24) et quatre-vingts (80), les deux mêmes mots forment deux expressions qui désignent des quantités différentes. Dans un cas, vingt est additionné à quatre alors que dans l’autre ces nombres sont multipliés. Cette distinction, ainsi que le sens de l’addition et de la multiplication, doivent être connus afin d’interpréter correctement la numération orale. Il faudrait s’en assurer avant d’aller trop loin en ce domaine.

Par ailleurs, en numération écrite la valeur de position implique une multiplication de sorte que les deux chiffres 3 de 33 ne représentent pas le même nombre d’éléments. Une interprétation correcte d’un nombre à deux chiffres suppose que l’élève a compris ce qui se cache derrière la valeur de position. Est-ce le cas lorsque les élèves apprennent à reconnaître les nombres sur un tableau de numération pendant l’activité des cent jours ? Le risque ? Que la mémoire remplace la compréhension et le raisonnement lors de cette activité. Que cela conduise à percevoir qu’en mathématiques la mémoire occupe un rôle beaucoup trop important.

En conclusion, la numération positionnelle est apparue il y a environ quinze siècles et elle était l’aboutissement du développement de nombreux concepts mathématiques pendant quelques millénaires. Ajoutons qu’en France, entre autres, il y a à peine cinq siècles, ce sont les chiffres romains qui étaient utilisés et non le système de numération que nous connaissons.

Ainsi, l’activité des cent jours devrait être précédée de plusieurs activités qui développent des concepts figurant dans le programme du premier cycle. Il y a lieu de se demander si sa place n’est pas en première année plutôt qu’au préscolaire.

À vous !

Robert Lyons

dimanche 1 février 2009



Les quantités (2)

La séquence habituelle d’apprentissages scolaires est telle que, dès l’âge de six ans, l’élève doit résoudre des équations telle 3 + ___ = 5. Malgré ses succès, il devra attendre d’avoir douze ans avant de se mesurer à 3 + x = 5. Il est étonnant de voir cette nouvelle forme, du même problème, causer des difficultés à des élèves pour qui la forme apprise à six ans ne cause aucun problème. En fait, deux raisons semblent expliquer cela. La première est qu’ils ont entendu certains adultes parler de l’algèbre comme s’il s’agissait d’un domaine où l’échec était normal. La seconde est le temps mis entre l’apprentissage de la première représentation et celui de la seconde, soit six années. Certains élèves ne peuvent comprendre que nous ayons espacé de six années l’apprentissage de représentations fort semblables de la même chose. Ils en concluent que ces deux représentations ne peuvent s’associer tout en ne voyant pas comment le x de 3 + x = 5 peut représenter autre chose que le nombre 2.

Prenons une illustration simple dont nous allons quantifier l’aire.




Si nous décidons que le petit carré est l’unité, cette illustration représente le nombre 425 puisque le rectangle est équivalent à dix petits carrés et le grand carré, à cent petits carrés. Par ailleurs, si nous décidons que c’est le grand carré qui est l’unité, nous avons le nombre 4,25. Ou encore 42,5 si le rectangle non carré représente l’unité. Tant que la décision n’est pas prise nous pouvons tout simplement écrire 4x + 2y + 5z. Mais, puisque ces formes sont construites au moyen de deux longueurs différentes seulement, nous pouvons nommer ces longueurs x, pour la plus longue et y, pour la plus petite. Dans ce cas, 4x² + 2xy + 5y² représente la quantité illustrée.

Évidemment, si l’unité de quantification est la suivante :



alors la figure originale représente la moitié de cette unité et sa valeur numérique est ½. Mais cette valeur serait ¼ si l’unité de quantification possédait une étendue équivalente à dix-sept grands carrés. Mathématiques = créativité!

Bref, les mêmes quantités physiques peuvent être représentées par des entiers, des fractions ou des nombres algébriques. Ne vaudrait-il pas mieux alors de développer le sens des nombres et des opérations à partir de matériel concret et d’étudier ensuite les divers systèmes symboliques qui les représentent ?

Quelles différences y a-t-il entre :

- 3 dizaines + 4 dizaines = 7 dizaines ;
- 3 quarts + 4 quarts = 7 quarts ;
- 3x + 4x = 7x ?

La seule différence se situe dans la représentation symbolique.

Alors, ce que je propose est que l’apprentissage soit d’abord construit à partir de représentations concrètes de quantités, les réglettes Cuisenaire ou les tuiles algébriques par exemples. Ensuite, que les élèves apprennent à nommer en même temps ces quantités au moyen de différents systèmes symboliques : nombres entiers, fractions, nombres algébriques.

Cela signifie qu’en première année, l’élève apprendrait à résoudre aussi bien 3 + ___ = 5 que 3 + x = 5, et à additionner 3 + 5 = ___ comme 3a + 5a = ___. Que vers l’âge de neuf ou dix ans, il apprendrait que 156 ÷ 13 = 12 tout comme (1 c + 5 d + 6 u) ÷ (1 d + 3 u) = 1 d + 2 u ou encore que (1x² + 5xy + 6y²) ÷ (1x + 3y) = 1x + 2y. Ayant expérimenté cela avec de nombreux élèves, même avec des élèves dits «en difficulté», je peux vous assurer que cela ne pose aucun problème sérieux.

Mais, j’y pense, ce serait semblable à ce que vit l’enfant de sa naissance à l’âge de douze mois environ, il apprend à connaître son environnement sans pouvoir en parler. Ou encore ce que vivent ces enfants de deux ou trois ans qui apprennent en parallèle deux ou trois langues. Chaque nouveau mot, qu’elle qu’en soit la langue, est d’abord associé à un objet, à une action. Ces enfants ne traduisent pas ces nouveaux mots dans une autre langue, ils apprennent à nommer directement chaque action ou chaque objet dans chaque langue.

En fait, ce que je propose est de développer d’abord des concepts et de les nommer par la suite avec, s’il y a lieu, les divers systèmes symboliques des mathématiques au lieu de tenter de développer des concepts à partir de leurs représentations symboliques. Avec le système actuel, on enseigne trop souvent aux élèves «à parler et à écrire» sans qu’ils sachent de quoi il est question. C’est cette incapacité d’associer le symbolisme avec la réalité qui les empêche de voir qu’en mathématiques la différence entre ce qui est appris avec plusieurs années d’intervalle ne réside que dans le symbolisme.

À vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com/

Robert Lyons