Mathadore

Le grand secret

2010-04-18T19:51:00.000-04:00

Plusieurs enseignantes ou enseignants consacrent énormément de temps afin de structurer les explications qui seront offertes à leurs élèves afin de développer divers concepts. Il me semble que l’enseignement par explications est dépassé et qu’il ne correspond plus à ce qu’attendent les enfants actuels.

Ma petite-fille vient d’avoir quatre ans et, lorsque je travaille, j’ai habituellement trois ordinateurs qui fonctionnent autour de moi. Il y a deux PC et un MAC. Souvent, elle se glisse sur mes genoux afin de pouvoir utiliser un ordinateur inoccupé, MAC ou PC. Elle peut insérer un DVD et le faire jouer sur mon PC le plus récent. Personne ne lui a montré comment le faire sur cet appareil, lequel est un portable alors que l’autre est un ordinateur de bureau. Elle va sur internet, repère la fenêtre de Google, tape seule un mot tel Dora, choisit un site de coloriage. Selon le site, elle peut colorier directement le dessin ou elle doit le copier. Dans ce cas, elle doit ouvrir Paint, coller le dessin, le réduire et, enfin, appliquer les couleurs de son choix. Dans deux ans, on lui apprendra à distinguer les formes de bases, les couleurs, à lire et à écrire … et surtout, on le fera en lui donnant des explications qu’elle n’aura probablement pas demandées. Cela ne convient vraiment pas. Elle apprend surtout par résolution de problèmes, pas par explications non sollicitées.

Est-ce un cas particulier ? Quel enfant a appris à marcher, à parler, à penser par explications ? Aucun ! Ceux qui ont essayé ne marchent toujours pas !

Ce que je crois avoir démontré pendant les quarante dernières années, c’est que l’école doit placer l’élève dans des situations dans lesquelles il doit apprendre par lui-même à partir d’un problème qu’il tente de résoudre seul. Cela n’implique pas que nous lui refusions toute aide qu’elle soit sous la forme d’un exemple ou d’une explication. Cela implique que nous refusions de l’aider tant qu’il ne le demande pas. Cela implique que, très jeune, il soit encouragé à se débrouiller seul et que nous applaudissions ses succès. Ma petite-fille doit refuser plusieurs dizaines de fois par jour que quelqu’un l’aide. Elle nous lance alors un : «Je suis capable !». Lorsqu’elle a un problème, elle dit : «Je vais trouver une solution !» Cela lui semble la voie normale.

Il me semble donc qu’en apprentissage, le rôle du parent et de l’enseignante est de poser, j’irais même jusqu’à écrire, de causer, des problèmes à l’enfant et d’observer ses efforts afin d’être disponible lorsque l’enfant nous demandera de l’aide. Cette aide devant alors être très limitée. Son objectif premier étant de faire voir le problème sous un autre angle plutôt que de le solutionner à la place de l’enfant.

Il existe un outil fort peu connu et rarement utilisé en enseignement, malgré sa grande valeur, il s’agit du conflit cognitif. Essentiellement, il consiste à faire voir à l’enfant qu’il croit à deux concepts contradictoires. Par exemple, l’erreur la plus fréquente en calcul est la suivante :
45 – 17 = 32. L’élève a effectué 7 – 5 = 2 car il croyait que l’on ne peut soustraire 7 de 5. Afin de créer un conflit on lui proposera 45 – 13 en exigeant qu’il prédise d’abord si la réponse sera plus petite, égale ou plus grande que 32, obtenu pour la première soustraction. Habituellement les élèves disent qu’elle sera plus grande car on soustrait un nombre plus petit que la première fois. On laisse alors l’élève faire le calcul et s’étonner du résultat obtenu. Il est en conflit cognitif et, rapidement, il rejettera la première réponse, allant souvent jusqu’à mentionner qu’il faudrait faire 5 – 7 et non 7 – 5. Il sait désormais qu’il a quelque chose à apprendre. Même si nous l’aidons alors, il comprend ce que vise cette aide et sait à quoi s’attendre. Notre travail se situe dans une problématique qu’il comprend.

Il me semble donc que l’enseignement des mathématiques doit se transformer radicalement. Il nous faut remplacer l’art et la science d’expliquer par l’art et la science de poser des problèmes appropriés et d’accompagner les élèves dans leurs essais de résolution. Finalement, la meilleure préparation de classe n’est probablement pas de planifier ce que les élèves devront écouter, mais de nous préparer à les écouter.

Avec les nouvelles technologies, il est relativement facile de mettre sur pieds des vidéos qui présenteront des problèmes aux élèves dans un environnement qui fait partie de leur culture. Un mini-ordinateur coûte actuellement moins cher que les volumes scolaires dont dispose un élève de neuf ans et plus. Ces appareils sont très patients, l’élève n’est pas gêné s’ils sont témoins de ses difficultés. Ils peuvent faire une grande partie du travail de l’enseignante, laissant à cette dernière beaucoup plus de temps afin de gérer les différences individuelles. Ce travail est exigent, probablement plus exigent que le mode explicatif actuel, mais, en plus de trente-cinq années d’animation d’enseignantes, il m’est apparu que quelques exceptions seulement refusent de faire les efforts nécessaires à l’amélioration de leur enseignement.

En mettant aujourd’hui un terme à l’aventure que fut celle de Mathadore, je demeure convaincu de l’importance du rôle du personnel enseignant. Je crois cependant que ce rôle doit changer de façon radicale. Il me semble que les nouvelles technologies permettront à l’enseignante et à l’enseignant de demain de faire un travail qu’ils ne peuvent faire que rarement actuellement. La popularité croissante de l’enseignement à la maison nous signale que quelque chose doit changer.

Si, en tant qu’enseignants, nous réussissons à défier nos élèves au moyen de problèmes qui attirent leur attention, non seulement nous favoriserons davantage le développement de leurs apprentissages, mais nous leur permettrons de développer des stratégies essentielles et une excellente confiance en leurs merveilleuses capacités.

Avec un gros pincement de cœur, je mets donc un terme à dix années pendant lesquelles vous, qui êtes plus de cinq mille, avez accepté de me lire aussi fidèlement. Suite au dernier Mathadore vous m’avez écrit en grand nombre et j’ai eu le plaisir de constater que certains de mes écrits ont pu vous aider et vous inspirer. Tous les Mathadore publiés demeureront archivés sur www.defimath.ca. J’espère les relire, les regrouper et, qui sait, en publier un jour l’essentiel sous la forme d’un volume. Je ne vous dis donc pas «Adieu !» mais «Au revoir !» car, d’autres projets en voie de développement, me permettront possiblement de pouvoir vous être utiles sous peu en utilisant d’autres outils que les nouvelles technologies mettent à notre disposition.

Je termine en vous remerciant de votre fidélité et en vous assurant que ce fut un plaisir et un honneur de pouvoir vous offrir mes idées et commentaires régulièrement.

Prenez soin de vous et … nous verrons bien ce que nous réserve le futur.

Robert Lyons

Ce que je crois avoir compris.

2010-04-05T11:31:00.000-04:00

La lettre Mathadore était, au début, un projet de quelques mois qui avait pour but d’accompagner le personnel enseignant dans l’implantation du programme de l’année 2000, lequel s’annonçait prometteur. Avec le temps, elle est devenue une sorte de rendez-vous pédagogique et didactique axé sur l’enseignement des mathématiques. À plusieurs reprises, nous avons dénoncé les nombreux dérapages de ce qui a été appelé «La réforme». Dix années plus tard, il est devenu évident que «La réforme» a été, pendant ces dix années, un prétexte à des luttes de pouvoir beaucoup plus qu’un outil permettant un urgent réalignement de l’enseignement des mathématiques.

Alors, en guise d’adieu, je me permets de vous livrer ce sur quoi, il me semble, devrait se construire un enseignement nettement amélioré des mathématiques.

D’abord, un changement important et durable ne peut être amorcé ou orienté au moyen d’un nouveau programme. Les programmes peuvent être interprétés de façons trop diverses et, souvent, opposées. Ils sont parcourus minutieusement par des gens qui s’y connaissent peu en enseignement et qui ne regardent que les innovations dans le but de les dénoncer. Après tout, voyez ce que ces critiques sont devenus en apprenant avec les programmes précédents. Peut-on demander davantage ? Évidemment, leurs commentaires soulèvent l’inquiétude des parents et l’inconfort du personnel enseignant qui passe en mode défensif. Or, le genre de programme qui devient nécessaire en mathématiques comporte des innovations importantes qui sont plus fondamentales que les changements de terminologie, spécialité des gens du ministère et cible privilégiée des journalistes souvent plus forts en jeux de mots qu’en jeux conceptuels.

Bref, les changements devront être discrets et progressifs. Ils pourraient provenir d’activités publiées sur internet et accessibles à tous. Des activités validées par des experts qui sont d’abord et avant tout des enseignantes qui font vivre ces activités à leurs élèves. Il faudrait cependant considérer le long terme car une activité peut avoir un grand succès en regard des objectifs visés lors d’une année scolaire tout en préparant de solides difficultés quelques années plus tard. Cela se produit fréquemment. Ainsi, apprendre aux élèves que la multiplication est une addition répétée conduit à des difficultés de taille lors de l’apprentissage de la multiplication de fractions, de nombres négatifs et de nombres algébriques. Des difficultés comparables résultent d’un enseignement «à court terme» de la division, des exposants, des figures planes … Il faut donc non seulement que les activités soient évaluées lors de leur utilisation, mais aussi, il faut en voir les effets à long terme. Comment fixer la durée de ce long terme ? Il faut multiplier par deux le degré de scolarité durant lequel l’activité a été utilisée. Pour une activité utilisée en deuxième année, il faudra vérifier si, en troisième et en quatrième année, les concepts qu’elle développait ne sont pas contredits, même partiellement, par les nouveaux concepts enseignés durant ces deux années. Bref, le travail du personnel enseignant doit être accompagné du travail d’un pédagogue chercheur spécialisé en mathématiques.

Il faudra mettre les parents dans le coup non seulement en les informant correctement, mais en leur permettant de faire vivre à leurs enfants des activités similaires. Il faudra qu’au départ, ils soient informés des objectifs d’apprentissage visés et des manifestations attendues. Et, de grâce, en évitant un langage hermétique qui ne cause que la confusion auprès de tous, même chez ceux qui sont affublés du titre d’«experts». Il n’y a en fait qu’une façon efficace de réduire l’insécurité manifestée par les élèves, par les parents et par les enseignantes, c’est de leur permettre de voir les petits progrès qui interviennent régulièrement à quelques jours de distance. Mettre les parents dans le coup de cette façon transforme les relations entre enseignantes et parents. Le parent qui peut suivre son enfant avec des outils similaires à ceux de l’enseignante demande moins à cette dernière de justifier les notes de son enfant. Il s’intéresse davantage aux méthodes et aux outils d’enseignement qui peuvent lui permettre d’aider son enfant. Ce qui précède ne nous semble pas utopique. Avec l’internet nous pouvons avoir presque tous accès aux informations et aux outils nécessaires.

Par ailleurs, il faudra reconnaître que les stratégies pédagogiques qui permettent de motiver, de décourager le copiage ou encore de gérer le travail en équipe se ressemblent d’une matière scolaire à une autre. Par contre, chaque matière possède une didactique particulière. Si la didactique des mathématiques ressemble beaucoup à la didactique des sciences, elle a peu en commun avec la didactique des arts et encore moins en commun avec celle des langues. Depuis plus d’un demi-siècle de nombreux essais en vue d’intégrer les matières se sont soldés par des «succès» très réduits. Il est temps d’orienter nos efforts vers les stratégies particulières qui tiennent compte de la spécificité de chacune des matières. Il faut que chacune des matières trouve sa place légitime dans la grille horaire. Il faut que cesse la pratique de réduire les notes des matières autres que le français si des fautes d’orthographe se retrouvent dans un travail de mathématiques ou de sciences par exemple. Les erreurs de français, qui figurent dans ces travaux, doivent être soulignées. Il faut que des points soient perdus à cause de ces fautes, mais ils doivent réduire la note du français. Nous avons rencontré des étudiants universitaires obligés de reprendre un cours en géométrie à cause des fautes de français relevées dans les travaux de leur cours précédent de géométrie. Une évaluation doit rendre justice à l’étudiant et, si possible, permettre d’orienter son travail futur. Comment aide-t-on un étudiant en français en lui imposant une reprise en géométrie ? On croirait que les responsables de telles décisions n’ont aucune confiance en la valeur des cours de français.

Bon, je croyais, en débutant cette lettre, être en train d’écrire mon dernier Mathadore. Il me semble avoir encore certaines choses à ajouter à ce bilan. Donc, il y aura un Mathadore 329.

À bientôt,
Robert Lyons

Un blogue du ministère

2010-03-21T17:07:00.001-04:00

Avec l’imposition prochaine d’un bulletin simplifié, la ministre de l’éducation du Québec contribuera largement à réduire le stress nuisible vécu par les élèves et le personnel enseignant depuis l’avènement des SAE (situation d’apprentissage et d’évaluation). En effet, tout semble indiquer que les SAE agoniseront rapidement et que nous reviendrons à une évaluation plus traditionnelle.

Certes, l’évaluation, qu’elle provienne du ministère ou de la commission scolaire, est toujours accompagnée d’un certain stress, mais ce stress peut être réduit considérablement lorsque des examens traditionnels sont utilisés. En fait, il est plus facile de préparer adéquatement les élèves aux évaluations traditionnelles qu’aux SAE. Il est aussi plus facile de vérifier et d’ajuster le degré de préparation des élèves en vue de la passation d’un test traditionnel que d’une SAE.

Voyons cela de plus près. À la fin du primaire, les élèves doivent avoir développé une certaine aisance :
- en numération;
- en calcul;
- avec le pourcentage;
- dans différents domaines de la mesure;
- dans certains domaines de la géométrie.

Tous ces sujets sont précis et connus.

Ainsi, une enseignante qui reçoit, en septembre, des élèves afin de leur faire vivre la dernière année du primaire, peut, en début d’année, les évaluer assez rapidement sur ces divers sujets ou, au moins, sur ceux dont l’apprentissage est le plus long ou le plus important. Elle peut faire le point et, ainsi, planifier son enseignement afin de faire progresser ses élèves. Cette progression sera facile à évaluer régulièrement et, avant les tests externes de fin d’année, elle saura à quelles performances s’attendre de ses élèves.

Par contre, avec les SAE, il n’y a aucune façon de planifier et de vérifier la progression des élèves. Le personnel enseignant en est réduit à réaliser deux, trois ou quatre SAE par année en espérant que cela puisse aider les élèves. Il s’agit vraiment d’espérer car il n’existe aucun moyen de vérifier la progression des élèves, aucun moyen permettant d’orienter le travail à faire. Il en résulte qu’à la veille d’administrer une SAE ministérielle, prédire les résultats des élèves constitue une activité qui relève davantage du hasard que de l’observation systématique du travail de préparation des élèves.

Bref, il y a aujourd’hui beaucoup plus de chances pour que, dans les prochaines années, la préoccupation première du réseau scolaire porte sur l’apprentissage et non sur l’évaluation et le contrôle du stress. Il faut en profiter.

Si vous naviguez sur internet, vous trouverez de nombreux blogues qui constituent de formidables outils d’aide de toutes sortes. Vous devez réparer une tondeuse à gazon ou tenter de faire disparaître une tache, interrogez Google et, il y a de fortes chances pour que vous receviez rapidement d’excellentes suggestions.

Alors pourquoi pas un blogue, entretenu par le ministère sur l’enseignement de chacune des matières scolaires ?

Chaque année, nous recevons des dizaines de questions en provenance d’enseignantes ou de parents qui veulent savoir, entre autres :

- Si un cône a un sommet ?
- Pourquoi l’inversion de la seconde fraction dans une division de fractions ?
- Pourquoi tout nombre affecté de l’exposant zéro est-il égal à un ?
- Comment enseigner les équivalences de fractions ?
- Comment enseigner les termes manquants ?
- Quel degré de maîtrise des tables de multiplications doit être atteint par un élève de dix
ans ?
- Que faire avec un élève qui ne comprend pas la numération ?
- Comment corriger telle erreur en soustraction et comment éviter cette erreur ?

La liste est longue et, neuf fois sur dix, des réponses efficaces sont connues.

Alors, le ministère a la possibilité de poser un geste fort utile en installant et en entretenant des blogues portant sur les diverses matières. Les réponses aux diverses questions pourraient venir de nombreuses personnes compétentes qui font ou ne font pas partie de l’ensemble du réseau scolaire. Cela s’avérerait efficace et économique.

Si les commissions scolaires ne reprennent pas l’engagement de conseillers pédagogiques spécialistes dans diverses matières, les enseignantes pourraient recourir à ce blogue afin d’obtenir un soutien minimal concernant des sujets qu’elles ne peuvent tous maîtriser vu le nombre de matières à enseigner au primaire lorsque vous êtes titulaire de classe.

Robert Lyons

Nouveau bulletin au Québec

2010-03-07T12:42:00.000-05:00

La semaine dernière, les médias en ont fait leur première page, le ministère imposera un bulletin national simplifié pour la rentrée. Cela signifie-t-il la fin de la Réforme entreprise il y a dix ans ? Est-ce un retour en arrière, recours ultime des politiciens en mal de tranquillité ?

Le bulletin sera simplifié sous prétexte que les parents ne le comprennent pas, que la terminologie qu’il utilise n’est pas claire. Avouons franchement que personne ne s’y retrouve dans cette terminologie. Depuis dix ans, nous avons été témoin de multiples interprétations de telle et telle compétence. La dernière trouvaille étant que la compétence «Résoudre des problèmes» s’applique aux problèmes difficiles et que la compétence «Raisonner» vise les problèmes faciles. On touche le fond du puits du ridicule.

Est-ce exagéré de penser que personne ne comprend la terminologie de la Réforme ? Imaginons un instant que les personnes qui supportent cette Réforme, et qui en sont en même temps les responsables au ministère, comprennent cette terminologie. Si c’est le cas, compte-tenu de leurs fonctions et des outils modernes de communication, les dix années écoulées depuis le lancement de la Réforme étaient largement suffisantes afin de clarifier au moins les énoncés les plus utilisés. Or, la confusion n’a fait que grandir. Alors, de deux choses l’une, ou ces responsables n’y comprennent rien ou ils sont incompétents, n’étant pas capables de livrer correctement le message en dehors de leur bureau situé sur un étage plus proche des nuages que du plancher des vaches.

Passons au bulletin simplifié, plusieurs parlant même d’un bulletin simpliste, d’un grand pas en arrière. Ils ont raison ! Un pourcentage afin de résumer la qualité et la quantité des apprentissages en mathématiques, c’est aussi valable que de mesurer les valeurs humaines d’un individu à partir seulement de ses revenus. Malheureusement, ce bulletin simpliste et, espérons-le, temporaire, est devenu nécessaire avec la place exorbitante prise par l’évaluation depuis dix ans.

L’évaluation est devenue la préoccupation la plus importante dans les commissions scolaires et dans les écoles. Parfois, elle est utilisée comme outil de chantage par de misérables Tontons macoutes afin d’obliger des enseignantes à se plier à leurs dictats dont la valeur éducative reste à démontrer. De sorte que si le bulletin simpliste peut servir à remettre à sa place l’évaluation afin que l’apprentissage devienne la préoccupation première non seulement des enseignantes, mais aussi des parents, des directions d’écoles, des cadres des commissions scolaires et du ministère, ce nouveau bulletin ne sera pas un retour en arrière, mais un pas en avant vers l’an 2000 puisque, depuis cette année 2000, les stratégies et les outils d’enseignement n’ont fait que se détériorer.

Ainsi, ne réalisant pas que les mathématiques que les élèves peuvent redécouvrir ou réinventer ne s’enseignent pas de la même façon que le français qui résulte de nombreuses règles arbitraires, les commissions scolaires ont remplacé les conseillers de matière par des «professionnels en pédagogie». Ce faisant, ils ont confondu la pédagogie et la didactique. La pédagogie s’occupe des relations maître-élèves, des relations entre les élèves, de la discipline, de la motivation, du souci de travailler avec soin, … (De transversalité peut-être ?). Par ailleurs, en complémentarité, la didactique s’intéresse aux stratégies propres à l’apprentissage efficace d’une matière précise en considérant, par exemple, la place plus importante de la mémoire dans telle matière et du raisonnement dans telle autre matière.

En remplaçant les conseillers de matière par des «professionnels en pédagogie», et ce, indépendamment de la valeur et de la volonté de ces professionnels, les commissions scolaires ont démontré qu’elles ignoraient les didactiques au profit d’un enseignement dont les stratégies constitueraient un inefficace dénominateur commun pour toutes les matières.

En fait, la Réforme ouvrait la voie à une amélioration de l’enseignement, mais elle a été un instrument dont ont bénéficié ceux qui se sont avérés les plus forts au jeu du «Pousses-toi que je m’y mette.»

Un bulletin simpliste et national est peut-être un premier pas vers la mise-de-côté de tout ce qui a fait reculer l’enseignement et l’apprentissage depuis dix ans. Un premier pas vers un regard neuf sur une Réforme, dont les éléments valables ont été occultés par l’utilisation d’un langage hermétique qui ne cachait en fait que la grande confusion de ceux qui l’utilisaient et par la place exagérée prise par l’évaluation.

À vous !

Robert Lyons

La meilleure technique

2010-02-21T19:49:00.001-05:00

À l’ère de l’ordinateur et de la calculatrice, c’est incroyable de voir l’importance accordée au calcul écrit. Lors d’une rencontre de parents, il y a quelques années, rencontre à laquelle assistaient aussi quelques enseignantes et un élève de onze ans, un parent mentionnait qu’il croyait qu’il fallait insister encore beaucoup sur le calcul écrit. Interrogé au sujet de l’importante de développer de la facilité afin de multiplier et de diviser par des nombres à deux chiffres, il en admit la grande importance.

Nous avons alors demandé aux personnes présentes de lever la main si, au moins une fois par mois, elles effectuaient une multiplication ou une division écrite par un nombre à deux chiffres. Une seule personne de l’assistance a levé la main, l’élève de onze ans. Il fallait voir son étonnement lorsqu’il vit qu’il était seul. J’imagine que, par la suite, il a éprouvé certaines difficultés à croire que cet apprentissage allait lui servir régulièrement plus tard.

Mais, il y a mieux ! Lorsqu’on demande aux parents et aux enseignantes quelles techniques il faut apprendre aux élèves ou lorsque nous permettons aux élèves d’en apprendre d’autres que celles qui ont torturé l’enfance de leurs parents, il est fréquent d’entendre dire que ces «nouvelles techniques» ne sont pas les meilleures. Là, il semble bien que cette opinion constitue la croyance de la majorité des parents et des enseignants de la planète.

Le problème, c’est que les francophones du Québec, par exemple, et ceux de France n’utilisent pas la même technique de soustraction. Ajoutons que les francophones du Québec ne divisent pas comme les anglophones de cette même province. Mieux encore, en Chine, le calcul écrit n’existe pas. Bref, considérant les convictions profondes des habitants de notre planète à l’effet que leurs techniques soient les meilleures, il faut bien admettre que ce qui détermine la valeur d’une technique de calcul n’a rien à voir avec la pédagogie ou les mathématiques. Il s’agit probablement d’un problème d’ordre géographique.

Mais quelles techniques adoptent les as du calcul ? Celles qui facilitent leur travail !

Ainsi, si la soustraction 4356 – 2124 ne cause aucun problème sérieux et qu’elle puisse être résolue aussi facilement de gauche à droite ou de droite à gauche, une soustraction telle 4000 – 2127 présente de jolis défis. Au Canada, nous utilisons la technique de l’emprunt, laquelle transforme 4000 en 3 (9) (9) (10), c’est-à-dire en 3 milliers, 9 centaines, 9 dizaines et 10 unités. Le reste est facile. Pendant ce temps, en France, «la meilleure technique» consiste à modifier à la fois 4000 et 2127 de sorte que là aussi, la soustraction puisse s’effectuer à chaque position. Dans ce but, 4000 devient 4 (10) (10) (10) alors que 2127 est changé en 3237. Ce sont en fait des techniques bien complexes pour qui prend d’abord le temps de réfléchir et de changer 4000 en 3999 et 2127 en 2126.

Chose étonnante, à l’épicerie, en calcul mental, aucune des techniques précédentes n’est choisie. À cet endroit, à l’insu de tous, nous avons l’habitude de soustraire comme suit : 40$ - 21,27$ devient 18$ …puis !8,73$. Calcul de gauche à droite ! Pourtant, on avoue que le calcul mental est plus exigeant que le calcul écrit. N’est-ce pas normal alors de tenter d’utiliser «la meilleure technique» ?

Mais, il y a ces deux fillettes de sept ans qui, indépendamment l’une de l’autre, à des centaines de kilomètres de distances, (Halifax en Nouvelle-Écosse et St-Jean-sur-Richelieu au Québec) ont utilisé les nombres négatifs comme suit : 421 – 158 = 3 (-3) (-7) ou 300 – 30 – 7 et ensuite 300 – 30 = 270 et 270 – 7 = 263. Personne ne leur avait appris ces algorithmes. Nous n’en avons trouvé aucune trace dans l’histoire des mathématiques. Se pourrait-il que nos élèves, dont l’ingéniosité se remarque facilement lorsqu’ils pratiquent des jeux électroniques interactifs ou encore lorsqu’ils utilisent le micro-ondes, le téléviseur ou même l’ordinateur, soient aussi en mesure de manifester leur créativité et leurs capacités à résoudre des problèmes en inventant ou en redécouvrant de très bonnes techniques de calcul ?

J’allais oublier, quelle est donc la meilleure technique ? Il me semble que ce soit celle qui est la plus simple, celle qui, pour un calcul donné, en réduit le plus possible le risque d’erreurs. Ainsi, quelle technique utiliser afin de diviser 35 505 par 45 ? La technique anglophone ou la technique francophone ? La meilleure technique me semble d’abord de remplacer 35 505 et 45 par 71 010 et 90 et, ensuite par 7101 et 9. En effet, multiplier ces deux nombres par 2 et diviser ensuite 7101 par 9 est beaucoup plus simple, plus rapide et moins risqué que de diviser 35 505 par 45.

Robert Lyons

Sur l'efficacité

2010-02-06T21:50:00.000-05:00

Le rôle de la répétition et de l’entraînement en vue de développer aisance et efficacité est bien connu. Ces activités permettent de créer des modèles qui seront sélectionnés et exécutés de plus en plus rapidement et efficacement.

À plusieurs reprises, nous avons pu observer de jeunes enfants qui s’initiaient au jeu Logix. Ce jeu consiste à positionner dans une grille 3 × 3 neuf pièces qui sont des carrés, des triangles ou des cercles chacune étant de couleur bleue, jaune ou rouge. Habituellement, les débutants réussissent les cinq à dix premières fiches avant de frapper un mur. Souvent, ils laissent alors le jeu de côté avant d’y revenir en recommençant avec la première fiche. On observe alors qu’ils vont plus loin que lors de leur premier essai. Ils utiliseront régulièrement cette stratégie de retour en arrière sans nécessairement recommencer au début réussissant ainsi à aller de plus en plus loin à chaque nouvel essai.

Il est facile d’observer que ce qui les aide à progresser est l’assimilation de plus en plus grande des consignes qui sont progressivement introduites dans le jeu. Tout se passe comme s’il devenait impossible de progresser lorsque plus que deux ou trois consignes nouvelles devaient être gérées. Par contre, le nombre de consignes déjà assimilées peut être considérable. Lorsqu’un élève réussit avec aisance l’ensemble des fiches du jeu Logix, il peut se mesurer à Logix Signature II qui introduit de nouvelles consignes. Il est facile d’observer alors que ce que les joueurs ont déjà assimilé est réutilisé automatiquement. Cependant, cela ne semble nullement les aider dans l’apprentissage des nouvelles consignes.

Imaginez un conducteur de taxi qui travaille dans une ville dont les rues sont disposées de façon semblable à un plan cartésien. Si, par chance, les rues sont identifiées nord-sud ou est-ouest ou si, dans un sens elles sont dites rues et, dans l’autre, avenues, le travail de ce conducteur est largement facilité. Et c’est encore plus facile si les rues et avenues sont numérotées. Si c’est le cas, il se fera rapidement un modèle mental de sa ville et pourra s’orienter sans difficultés vers une adresse donnée.

Mais si ce conducteur doit aller exercer son métier dans une autre ville où les rues sont encore disposées selon un plan cartésien et que, cette fois, rien dans les noms de rues n’indique leur sens ou leur position par rapport aux autres rues alors seule l’organisation cartésienne des rues peut être transférée. Pour le reste, il doit tout reprendre à zéro. Et, s’il déménage dans une autre ville où les rues sont pratiquement toujours en forme d’arc de cercle et si elles sont très courtes, alors tout est à refaire, rien n’étant transférable.

Prenons un autre exemple, l’apprentissage du calcul mental en multiplication. D’abord, il y a les fameuses tables de base à mémoriser. Ce n’est pas nécessairement facile, mais avec une bonne mémoire et quelques efforts, nous y parvenons presque tous.

Passons à une autre étape, la multiplication mentale de nombres à deux chiffres. Cette fois, la mémorisation pure est hors de portée de la majorité des gens. Ce qui a été mémorisé au début va toujours servir, mais la façon de l’apprendre, soit par mémoire pure, ne peut être transférée à ce qui est désiré maintenant. D’ailleurs, pour la majorité des gens, la multiplication mentale au-delà de 10 X 10 ou de 12 X 12, n’est même pas envisagée.

Il faudra de nouvelles stratégies. En guise d’exemples :
1. Lorsqu’il faut multiplier par lui-même un nombre ayant 5 à la position des unités, il suffit d’abord de multiplier le chiffre des dizaines par le suivant (pour 15 × 15 : 1 × 2 = 2; pour 25 × 25 : 2 × 3 = 6…) et de faire suivre ce nombre par 25.
Donc : 15 × 15 conduit à 1 × 2 = 2, ensuite à 225;
35 × 35 devient 3 × 4 = 12 ensuite 1225;
75 × 75 devient 7 × 8 = 56 et ensuite 5625.
C’est une technique très utile, mais elle est inutilisable si, à la position des unités, le chiffre est autre que 5 et si le nombre n’est pas
multiplié par lui-même.
2. Voici une autre technique, celle de la différence de carrés.
Prenons 8 × 10.
La moyenne entre 8 et 10 est 9 que nous élevons au carré : 9 × 9 = 81.
L’écart entre la moyenne et 8 ou 10 est 1 qui sera aussi élevé au carré : 1 × 1 = 1. Il reste à soustraire le petit carré du grand :
81 – 1 = 80 donc 8 × 10 = 80.
Essayons avec 36 × 44. La moyenne est 40, donc 40 × 40 = 1600. L’écart entre 40 et 36 ou 44 est 4, donc 4 × 4 = 16.
Enfin 1600 – 16 = 1584 donc 36 × 44 = 1584.

Cette dernière technique est fort utile lorsque la moyenne est un multiple de dix. Si ce n’est pas le cas, cela s’avère plus difficile. Il existe de nombreuses autres techniques qui permettent de simplifier diverses multiplications de nombres à deux chiffres. Elles n’ont toutefois pas nécessairement de liens avec les deux précédentes.

Ce qui vient d’être décrit peut être programmé sous la forme d’une séquence d’apprentissages et il est facile d’évaluer la progression des élèves dans ces apprentissages. Malheureusement tous les apprentissages ne se programment pas aussi facilement. Dans certains domaines il ne semble pas possible de définir une séquence d’apprentissages et, partant, d’évaluer la progression des élèves. C’est ce qui se passe en apprentissage de la créativité et de la résolution de problèmes.

Robert Lyons

Passage primaire-secondaire

2010-01-23T21:30:00.000-05:00

Au moment où nous écrivons ces lignes, il y a certainement des comités dits de passage primaire-secondaire qui existent dans diverses commissions scolaires. Il y a aussi probablement des comités de travail dont le but est d’harmoniser le passage des élèves d’un degré au degré suivant. Existent aussi de nombreux examens de promotion qui servent, comme les activités qui viennent d’être mentionnées, à tenter de s’assurer que les élèves ont telle série d’acquis à la fin de telle année de scolarité.

Par ailleurs, lorsque nous comparons les programmes d’études de deux années qui se suivent, nous constatons que soixante pourcent et plus de ce qui est enseigné une année est revu l’année suivante. Ainsi, si nous enlevons du programme de la première année du secondaire tout ce qui est au programme de la dernière année du primaire, ce qui reste représente au maximum deux mois de travail.

On comprendra facilement que si les élèves maîtrisaient réellement le contenu du programme de la fin du primaire, ils devraient s’ennuyer royalement en première année du secondaire. Alors, faut-il tamiser le programme de la sixième année afin de s’assurer qu’une partie seulement est maîtrisée ? Dans ce cas, cette partie représenterait quelle fraction du programme ?

Afin que les enseignants de la première année du secondaire soient dotés d’un programme sans recoupements avec le primaire, il faudrait réduire leur programme actuel de quatre-vingt pourcent de son contenu. Cela entraînerait que les élèves de la fin du primaire devraient maîtriser le contenu du programme de la quatrième année du primaire environ.

Mais tout le monde est conscient qui si ce qui est réputé acquis à la fin d’une année scolaire n’est pas révisé l’année suivante, plusieurs de ces acquis s’envolent rapidement. Que faut-il en conclure ? Peut-on y voir une preuve que trop d’acquis s’appuient sur la mémoire et que celle-ci doive être rafraîchie année après année ?

Il est intéressant de noter que les apprentissages dont les adultes se souviennent le plus font habituellement partie du curriculum du primaire et non de celui du secondaire et ce même s’ils ne s’en sont pas servi depuis des années. On dirait que c’est ce qui a été appris en premier qui est encore le plus présent dans nos mémoires. Bref, à long terme, ce dont l’élève se rappelle le plus est ce qu’il a appris, par exemple, dans la dernière année du primaire et non dans la première année du secondaire. Pourquoi ?

Il me semble que cela résulte des apprentissages contradictoires dont fourmillent les programmes et les manuels scolaires. Entre deux «lois», entre deux «définitions», c’est celle qui fut acquise en premier dont on se souviendra le plus facilement. Cette première «loi» ou «définition» ne sera que très rarement corrigée ou ajustée malgré tous les apprentissages qui la contrediront plus tard. Cependant elle nuira considérablement à ces nouveaux apprentissages au point de placer fréquemment l’élève en difficulté lors de leur étude et, avec le temps, ce sont ces nouveaux apprentissages qui disparaîtront.

Voici des exemples. Vers l’âge de dix ans, les élèves apprennent que 7³ = 7 × 7 × 7. Nous leur enseignons alors, ou ils le découvrent eux-mêmes, que les exposants remplacent une multiplication répétée. Une année ou deux plus tard, ils apprendront que 7° = 1 et que tous les nombres affectés de l’exposant zéro sont égaux à un. Cela signifie-t-il qu’en multipliant un nombre par lui-même «zéro fois», on obtienne le nombre un ? Deux années plus tard, ils apprendront les exposants négatifs, par exemple que 5 affecté de l’exposant (-2) est égal à 0,04 ou que 9 exposant ½ est égal à 3. Mais tout cela a été oublié depuis longtemps par la majorité des adultes, sauf la «définition» des exposants qui ne s’appliquait qu’aux exposants positifs et le fait que tout nombre affecté de l’exposant zéro est égal à un.

Évidemment, le fait d’avoir appris que la multiplication serait une addition répétée n’aide pas à comprendre que ½ × ½ = ¼, que (-3) × (-4) = 12, que a × a = a². Croire que diviser c’est partager ou mesurer n’aide vraiment pas à comprendre que 6 ÷ (-2) = (-3) ou que 3 mètres ÷ ½ = 6 mètres.

Finalement, plutôt que de s’assurer, à la fin d’une quelconque année scolaire, que les élèves ont tel ou tel acquis, ne vaudrait-il pas mieux de s’assurer qu’ils n’ont pas certains acquis nuisibles à leurs apprentissages futurs ? N’est-il pas plus facile d’apprendre quelque chose de vraiment nouveau que quelque chose qui contredit ce qu’à tord, nous croyons valable ?

Bonne Année 2010 !

Robert Lyons

Qu’est-ce qu’un problème complexe?

2009-12-12T20:18:00.000-05:00

En fouillant l’histoire des mathématiques, il est relativement facile de retrouver les problèmes qui ont défié de nombreux mathématiciens pendant des siècles. Dans l’Antiquité on en retrouve trois :

1. la quadrature du cercle;
2. la trisection de l’angle;
3. la duplication du cube.

La quadrature du cercle consiste à construire un cercle et un carré de même aire avec seulement une règle non graduée et un compas. Ce problème est vieux de plus de 3600 années. En 1882, après de nombreux efforts, il a été déclaré insoluble.

La trisection de l’angle consiste à diviser un angle en trois parties égales avec une règle non graduée et un compas. Ce problème est lui aussi insoluble sauf si l’on utilise une règle graduée.

La duplication du cube consiste à construire un cube dont le volume est le double d’un cube de référence, le tout avec une règle non graduée et un compas. Il s’agit encore d’un problème insoluble avec les conditions imposées.

Cela nous amène à définir la résolution de problèmes comme l’association d’un état final à un état initial, en surmontant un obstacle plus ou moins important qui empêche de percevoir de façon évidente si, oui ou non, l’état final découle logiquement de l’état initial.

Voici deux autres problèmes plus récents :

1. le théorème des quatre couleurs;
2. le théorème de Fermat.

Le théorème des quatre couleurs consiste à démontrer qu’il suffit de quatre couleurs pour colorier une carte géographique, de sorte que deux pays, qui ont une frontière commune, soient de couleurs différentes. La conjecture préalable à ce théorème a été énoncée en 1852. La seule démonstration existante de ce théorème date de 1976 et elle a été réalisée par ordinateur.

Le théorème de Fermat a été énoncé vers 1620 et résolu par Wiles en 1995. Nous savons tous que la somme de deux carrés parfaits peut être égale à un autre carré : 9 + 16 = 25. Donc il existe des entiers positifs a, b et c tels que a2 + b2 = c2. Le théorème de Fermat énonce que si l’exposant est plus grand que 2 il n’existe plus d’entiers positifs satisfaisant cette équation. Ainsi la somme de deux cubes ne peut être un cube.

Voilà cinq problèmes qui se sont avérés être parmi les plus complexes de l’histoire des mathématiques. Ils peuvent tous être énoncés avec moins de vingt mots chacun. Leur refuser le statut de problème complexe, c’est se moquer de l’histoire des mathématiques et de ses plus grands cerveaux.

En résolution de problèmes, la complexité peut se situer à deux endroits :

- comprendre l’énoncé du problème;
- résoudre le problème.

Il faut parfois beaucoup de travail afin de comprendre un problème devant être isolé d’un contexte plus ou moins élaboré, mais situer la complexité seulement dans cette première phase de la résolution de problèmes démontre une grande ignorance de l’histoire des mathématiques et tend à éclipser l’apprentissage des mathématiques en favorisant celui de la compréhension de textes, celui de la culture et celui du bricolage.

Au Québec, il est clair que l’importance actuellement accordée au travail sur des situations complexes restreint le temps d’apprentissage qui doit être consacré aux concepts, aux techniques et au symbolisme mathématiques. Il est aussi clair que les définitions à la mode de ce qu’est un problème mathématique constituent des erreurs de parcours qui ne peuvent que nuire aux élèves et aux enseignantes. Il coule de source que la résolution du théorème de Fermat-Wiles, dont l’énoncé est très simple mais dont la solution exige des centaines de pages de calculs, constitue un des problèmes les plus complexes de l’histoire de l’humanité. Or, si l’on se fie à la description que donnent certains fonctionnaires québécois du monde de l’enseignement à la compétence «Résoudre des problèmes» ou encore à la définition que ces mêmes fonctionnaires donnent de ce que doit être un problème complexe, la résolution du théorème de Fermat-Wiles, parmi tant d’autres, ne cadre ni avec la compétence «Résoudre des problèmes» ni avec ce qu’est un problème complexe.

Si un jour le MELS redéfinit la poésie de sorte que les œuvres de Musset, de Baudelaire et de Nelligan s’en trouvent exclues, ne paniquez pas, dans quelques années tout retrouvera sa place car elle est bien éphémère l’auréole de ces personnes qui veulent passer à l’histoire en reniant l’histoire et les ministères ont la très grande faculté de se comporter éventuellement, mais tardivement, comme de puissants trous noirs devant leurs erreurs.

Joyeuses Fêtes!

Robert Lyons

Que mesurent les SAE?

2009-11-28T18:18:00.000-05:00

Depuis plus d’un demi-siècle, de nombreuses recherches, portant sur les différences de fonctionnement entre experts et novices en résolution de problèmes, ont montré que le transfert des stratégies de résolution de problèmes d’une situation problématique à une autre est loin d’être automatique. Ces recherches montrent que même les experts se comportent en novices dans certaines conditions.

Voici quelques exemples. Dans une recherche auprès de chimistes considérés comme des experts en résolution de problèmes (Voss, Green, Post et Penner, 1983) ceux-ci devaient résoudre un problème portant sur la faiblesse de la production agricole en Union Soviétique. Dans ce problème, ces experts avaient peu de connaissances relatives au contexte du problème posé et ils ont été incapables de se comporter en experts.

Lorsqu’un problème est posé à un individu, ses connaissances du domaine dans lequel se situe le problème lui permettent, et ce, avant de tenter de résoudre le problème, de disposer d’une organisation de ses connaissances. Cette organisation facilite la récupération de ses connaissances et constitue le modèle mental dans lequel les données du problème viendront prendre place.

Une recherche de Chi et al (1982) a démontré que les fleuristes se comportent en experts en résolution de problèmes portant sur des fleurs alors que ce n’est pas le cas lorsque des experts en résolution de problèmes, peu intéressés par les fleurs ou n’ayant que peu de connaissances en ce domaine, se mesurent à des problèmes semblables.

Bref, les stratégies de résolution de problèmes ne sont transférables qu’à partir du moment où un individu, expert ou non, possède d’importantes connaissances du domaine dans lequel se situe le problème qui lui est posé. Imaginons donc une SAE portant sur le sirop d’érable. L’élève, dont les parents vivent de cette industrie, risque d’en posséder un modèle mental qui facilitera sa résolution de problèmes à ce sujet. Même s’il n’est habituellement pas reconnu expert en résolution de problèmes, il pourrait se comporter comme tel lors de la résolution des problèmes portant sur ce sujet. D’autre part, un expert en résolution de problèmes, ayant peu ou pas de connaissances au sujet des érablières, se comportera souvent en novice lorsqu’on lui adressera des problèmes portant sur le sirop d’érable. C’est ce que de nombreuses recherches, citées à la fin de cette lettre, ont découvert.

En conséquence, que mesurent les SAE? D’abord et avant tout les connaissances que possède un élève sur le sujet dans lequel se situe le problème qui lui est posé. Elles mesurent donc la culture de l’élève. C’est seulement lorsque ces éléments culturels sont en place que l’élève a la possibilité démontrer ses aptitudes en résolution de problèmes.

Au Québec, depuis la venue des examens-roman et des examens-bricolage, les écoles se sont lancées dans l’utilisation de SAE destinées, semble-t-il, à préparer les élèves à ces examens. Cette démarche est une pure perte de temps sauf si l’examen du ministère porte sur un sujet qui appartient à une classe de problèmes similaires à ceux des SAE utilisées en guise de préparation à l’examen. Encore faut-il que la SAE correspondante ait permis aux élèves d’acquérir suffisamment de connaissances et d’expérience du sujet de la SAE pour s’en construire un modèle mental solide.

En ce qui concerne les élèves, on pourra porter des jugements tels les suivants :

«Considérant que les connaissances de l’élève relatives au contexte de la situation problème, ou à des contextes similaires, ont été préalablement évaluées suffisantes, il en découle que ses aptitudes en résolutions de problème sont évaluées comme suit …»

«Considérant le fait que les connaissances de l’élève relatives au contexte de la situation problème n’ont pas été préalablement évaluées suffisantes, aucun jugement ne peut être porté sur ses capacités en résolution de problèmes.»

En conclusion, afin d’aider les élèves en résolution de problèmes, il convient d’en développer les stratégies dans des contextes diversifiés pouvant servir de modèles. Par exemple un problème touchant l’établissement d’un budget familial appartient à la même catégorie qu’un problème touchant le budget d’une école. Le contexte du ou des problèmes d’apprentissage de base devra être bien connu des élèves avant même que l’on puisse prétendre développer des stratégies de résolution de problèmes. De la même façon, les contextes utilisés afin d’évaluer les élèves devront être suffisamment similaires aux contextes d’apprentissage pour que les élèves puissent les associer comme appartenant à la même catégorie de problèmes. Faut-il ajouter que pour réussir de telles associations, les contextes des situations d’évaluation devront eux aussi être déjà bien connus ? En clair, il faut choisir des thématiques qui appartiennent au quotidien des élèves.

Parallèlement, il faut développer la culture générale des élèves afin qu’ils puissent augmenter le nombre de domaines dans lesquels ils pourront éventuellement développer et manifester leur expertise en résolution de problèmes. Mais, quelle est la partie de cette formation de l’élève qui relève de l’enseignement des mathématiques ? Et s’il y a des bases culturelles à développer lors de l’enseignement des mathématiques, ne serait-ce pas d’abord l’histoire des mathématiques, laquelle peut permettre de mieux comprendre à quoi servent les mathématiques en étudiant les domaines de l’activité humaine à l’intérieur desquels il s’est avéré nécessaire de les mettre sur pieds ?

Robert Lyons

Voici quelques recherches qui démontrent l’importance d’une excellente connaissance du contexte d’un problème au moment de tenter de le résoudre :

Snyder, Bruck and Sapin 1954 et 1962; Simon 1981; Chi et al 1982; Voss, Green, Post and Penner 1983; De Bono 1983; Beyer 1984; Pennington and Hastie 1986; Purkitt and Dyson 1988; Premkumar 1989; Palumbo 1990; Sylvan and Voss 1998; Jonassen 1997.

Les SAE sont-elles légales ?

2009-11-14T20:14:00.002-05:00

Le système scolaire québécois est soumis à la loi dite de l’instruction publique. C’est une vieille loi, mais de fréquents amendements permettent de la rajeunir ou, du moins, de l’ajuster à une société en évolution.

Il existe cependant un article de cette loi qui n’a subi, à ma connaissance, aucun amendement depuis au moins vingt ans. Il se lit comme suit :

230. La commission scolaire s’assure que pour l’enseignement des programmes d’études établis par le ministère, l’école ne se serve que des manuels scolaires, du matériel didactique ou des catégories de matériel didactique approuvés par le ministre.

Une remarque avant d’aller plus loin, cet article ne s’applique évidemment pas aux crayons, papiers et autres objets de même nature lesquels ne sont pas considérés comme du matériel didactique (article 7 de la même loi). Il ne s’applique pas aux exercices et examens conçus par l’enseignante pour fins d’adaptation de son enseignement. Nous y reviendrons.

Lorsqu’on mentionne l’approbation du ministre, cela se réfère à un processus très précis régi par le Bureau d’approbation du matériel didactique (BAMD). Tout le matériel didactique doit passer par ce processus et ce qui est approuvé se trouve sur les listes du ministère que l’on peut consulter sur internet à l’adresse http://www3.mels.gouv.qc.ca/bamd/menu.asp

On constatera qu’aucune SAE ne figure sur ces listes. Les SAE sont-elles illégales pour autant ? Afin de répondre à cette question mentionnons l’article 19 de la même loi.

19. Dans le cadre du projet éducatif de l’école et des dispositions de la présente loi, l’enseignant a le droit de diriger la conduite de chaque groupe d’élèves qui lui est confié.

L’enseignant a notamment le droit :

1. de prendre des modalités d’intervention pédagogique qui correspondent aux besoins et aux objectifs fixés pour chaque groupe ou pour chaque élève qui lui est confié;
2. de choisir les instruments d’évaluation des élèves qui lui sont confiés afin de mesurer et d’évaluer constamment et périodiquement les besoins et l’atteinte des objectifs par rapport à chacun des élèves qui lui sont confiés en se basant sur les progrès réalisés.

Afin d’avoir un tableau complet, ajoutons :

96.15 Sur proposition des enseignants ou, dans le cas des propositions prévues au paragraphe 5e, des membres du personnel concernés, le directeur de l’école :

4e approuve les normes et modalités d’évaluation des apprentissages de l’élève, notamment les modalités de communication ayant pour but de renseigner ses parents sur son cheminement scolaire, en tenant compte de ce qui est prévu au régime pédagogique et sous réserve des épreuves que peut imposer le ministre ou la commission scolaire.

Bref, en ce qui concerne le matériel d’enseignement, il doit figurer sur la liste du matériel approuvé par le ministère (article 230) ou provenir du choix de l’enseignant tenant compte des besoins de ses élèves (article 19). Il est donc illégal d’imposer aux enseignantes d’utiliser les SAE.

En ce qui concerne les outils d’évaluation, le ministre et la commission scolaire peuvent en imposer. Cependant, il va de soi que ces outils, tout comme les manuels scolaires, auront été validés au préalable.

La pensée sous-jacente à tous ces articles de loi est la suivante : ce qui est mis dans les mains des élèves doit être de qualité. Or il existe deux façons de s’en assurer :

- Si le matériel vient de l’extérieur, il doit avoir été approuvé par le bureau d’approbation du matériel didactique (article 230).
- Si le matériel est produit localement, par un ou des membres du personnel de la commission scolaire, la décision de l’utiliser appartient entièrement à l’enseignante (19).

Cela est normal car, en principe, ce qui est approuvé par le ministère a été validé et permet une marge de manœuvre grâce à laquelle l’enseignante peut l’adapter aux besoins de ses élèves. Cette nécessaire possibilité d’adaptation doit exister lorsque le matériel n’a pas été validé selon des normes reconnues. Dans un tel cas, le meilleur instrument d’approbation est le jugement de l’enseignante.

En ce qui concerne les instruments d’évaluation, cela revient au même, il est obligatoire d’utiliser ceux que le ministère ou la commission scolaire impose. Cependant, il va de soi que le ministère et la commission scolaire doivent avoir procédé au préalable à une sérieuse validation auprès d’un nombre suffisamment élevé et représentatif d’élèves puisque dans le cas d’une évaluation externe et officielle, l’enseignante ne peut adapter l’instrument qu’elle reçoit et l’interprétation des résultats ne donne que très peu de marge de manœuvre.

Considérant sa responsabilité, il va de soi que l’enseignante soit bien informée de ce qui a été fait pour valider ces instruments d’évaluation et ce qui en est résulté. Cela est essentiel car c’est l’opinion de l’enseignante qui sera la plus importante lorsqu’il faudra décider de la promotion de l’élève. Or, pour le faire adéquatement, elle devra connaître la valeur des données dont elle dispose.

SA, SE et SAE

2009-10-31T20:52:00.002-04:00

Suite au dernier Mathadore, nous avons reçu plus de rétroactions que jamais de la part de nos lecteurs. Toutes mentionnaient leur désaccord avec les SAE et se demandaient ce qu’il fallait faire pour que cesse cette folie. Nous allons donc consacrer quelques Mathadore aux SAE. Nous vous encourageons à écrire vos commentaires sur le blog afin d’engager un véritable débat à ce sujet. Cette semaine, demandons-nous si situations d’apprentissage (SA) et situations d’évaluation (SE) sont compatibles.

Il y a déjà vingt-cinq ans, lors d’une évaluation, qui s’adressait à des élèves de quatrième année (neuf ans), la question suivante fut posée :

Voici la carte d’un terrain. Le X, qui figure sur cette carte, indique l’endroit où se cache un trésor. Tu te rends à ce terrain, mais en ouvrant la carte, tu constates que le X a été effacé. Tu appelles ton ami qui a une carte semblable. Que devra-t-il te dire afin que tu puisses retrouver le trésor ?

Cette question a été posée à une centaine d’élèves qui appartenaient tous à la même classe dans une école à aires ouvertes. Lors de la correction, les enseignantes, au nombre de quatre, accordèrent tous les points à trois élèves et donnèrent un zéro à trois autres élèves qui n’avaient donné aucune réponse.

En ce qui concerne les autres élèves, si les méthodes décrites permettaient de situer le trésor, aucune n’utilisait les coordonnées cartésiennes. Or ce que nous tentions d’évaluer était la compétence à reconnaître une situation pour laquelle les coordonnées cartésiennes étaient pertinentes. Mais voilà, en mathématiques, si le raisonnement logique est roi, la créativité est reine et il est rare qu’un problème ne conduise qu’à une seule stratégie de résolution.

Ces enseignantes se trouvaient donc devant un dilemme : presque tous les élèves avaient réussi à résoudre le problème mais seulement un élève sur trente avait démontré qu’il maîtrisait ce que nous voulions évaluer.

Heureusement qu’il y avait quatre enseignantes dans cette classe. Deux d’entre elles interrogèrent individuellement chaque élève afin de vérifier si, en plus de la stratégie choisie, ils en connaissaient d’autres. Lors de ces entrevues, tous les élèves, sauf les trois qui n’avaient donné aucune réponse, démontrèrent qu’ils avaient compris que les coordonnées cartésiennes pouvaient servir, mais qu’ils avaient trouvé un autre système au moins aussi efficace. En guise d’exemples, plusieurs élèves avaient noté quelque chose de semblable à ce qui suit : Imagine que tu es devant notre classe, le trésor se trouve où est situé le pupitre de Sylvie B. Un élève a écrit : Si tu pars du coin situé en bas à droite et si tu marches vers le centre du côté du haut, le trésor se trouve au milieu de ton parcours.

En fait, ce problème constituait une excellente situation d’apprentissage (SA) mais une situation d’évaluation (SE) inadéquate. Une situation d’apprentissage doit être ouverte. Elle débute par un problème clair qui ouvre la voie à de nombreuses pistes de solution et à de nombreux apprentissages dont certains sont souvent totalement insoupçonnés au départ. Imaginer ces diverses pistes de solution, les construire et les valider permettent aux élèves de développer les habiletés de résolution de problèmes.

Pendant une situation d’apprentissage, l’enseignante peut toujours proposer d’autres pistes, les unes valables, les autres inadéquates. De cette façon, elle s’assure que les apprentissages visés soient abordés et en profite afin d’exploiter des concepts non prévus au départ. Ainsi, dans l’exemple du trésor, il s’agissait d’un problème de repérage et le système à étudier était celui des coordonnées cartésiennes. Malgré cela, la seconde solution, mentionnée plus haut, utilise un système de coordonnées dites polaires dans lesquelles on se sert d’une mesure de longueur et d’un angle. Rien n’empêche de profiter d’un tel problème afin de bifurquer vers l’étude de la mesure d’angles, ce qui serait fort pertinent dans une SA mais nullement pertinent dans une SE visant à évaluer la maîtrise des coordonnées cartésiennes.

On nous objectera peut-être que les visées d’une SE peuvent être élargies à la compétence à se repérer plutôt que restreintes à la compétence à se repérer avec un système cartésien. Malheureusement, certaines situations exigent la maîtrise du repérage cartésien, par exemple un parcours dans une ville, alors que d’autres exigent celle du repérage polaire, par exemple un trajet en forêt avec une boussole. Au moment de l’évaluation, il y a lieu de s’assurer que tel ou tel système ou encore que les deux systèmes sont maîtrisés. Cela ne peut être réalisé que si les problèmes sont suffisamment contraignants pour que l’élève manifeste qu’il maîtrise exactement ce qui doit être évalué.

Une situation d’apprentissage peut toujours être ajustée, précisée, réorientée. Ce n’est pas le cas d’une situation d’évaluation qui doit être suffisamment précise pour qu’elle puisse évaluer ce qui est visé. Finalement, SA et SE ressemblent à deux entonnoirs. Dans le cas d’une SA, on entre par le petit orifice et on espère que l’orifice de sortie soit le plus large possible. Dans le cas d’une SE, on entre par le grand orifice et on espère que l’élève trouve la sortie.

Faut-il ajouter qu’une SA vise à développer des apprentissages en laissant une large place aux interventions de l’enseignante et aux discussions entre élèves alors qu’une SE de qualité doit réduire au maximum les interventions de l’enseignante et celles des pairs ? Doit-on rappeler que le programme prescrit une approche constructiviste donc des activités grâce auxquelles les élèves construisent eux-mêmes leurs apprentissages ? Est-ce ce qui est visé lors d’une évaluation ? L’évaluation n’a-t-elle pas pour but de mesurer ce que l’élève a déjà construit ?

Bref, la rédaction des SAE est une entreprise dans laquelle on retrouve des stratégies d’enseignement et des objectifs complémentaires mais incompatibles dans une même activité. Cela relève d’une incompréhension majeure de ce qu’est l’apprentissage ou de ce qu’est l’évaluation ou des deux à la fois.

Robert Lyons

On Her Majesty's Secret Service

2009-10-17T20:40:00.001-04:00

Depuis plus de trente années, Sa Majesté l’enseignement du français essaie, et réussit très souvent, à imposer à l’enseignement des autres matières une espèce de servitude qui témoigne du piètre rendement de l’enseignement de la langue.

En fait, à cinq ans, lorsque l’enfant arrive à l’école, il possède déjà une quantité considérable d’acquis en français. Rien de comparable n’est acquis en mathématiques. Pensons-y, l’enfant de cinq ans croit habituellement qu’en étirant une ligne de jetons, il en aura davantage. S’il a deux carrés identiques et qu’il les dispose de sorte qu’un carré recouvre l’autre partiellement, il croit que désormais «le carré qui est situé en dessous est le plus grand parce qu’il dépasse». Lorsqu’il dénombre des objets, il en omet quelques-uns, en compte d’autres deux fois. Bref, en mathématiques ses apprentissages sont rudimentaires, sauf sa capacité à résoudre des problèmes, laquelle est apparue longtemps avant qu’il puisse se débrouiller en français.

Par ailleurs, avant l’âge scolaire, l’enfant possède déjà un vocabulaire de plusieurs centaines de mots. Sans être capable de dire lesquels sont des verbes ou des noms, il les situe correctement dans ses phrases. Il utilise des synonymes pour s’expliquer, il comprend le sens de plusieurs métaphores telle la tête de l’arbre, les pieds de la clôture. Il conjugue assez facilement plusieurs verbes à divers temps et ses erreurs manifestent qu’il a compris les règles de base de la conjugaison. Bref, il maîtrise suffisamment la langue orale pour tenir une conversation intéressante et claire avec un adulte.

Malgré cet avantage certain, Sa Majesté impose ses dictats à l’enseignement des autres matières. Ainsi, nous vivons actuellement sous le joug des SAE (Situations d’apprentissage exagérées… pardon, situations d’apprentissage et d’évaluation). Le Ministère (MELS) mentionne que la SAE permet à l’élève de développer et d’exercer une ou plusieurs compétences disciplinaires et transversales. En fait il faudrait plutôt écrire «permet de développer au moins les compétences de l’élève en français.»

Évidemment Sa Majesté est sans pitié pour les élèves qui, dans le contexte des SAE, à cause de leurs faiblesses ou de leur manque d’intérêt linguistique, ont peu de chances de développer et de démontrer leurs compétences en mathématiques. D’ailleurs, dans les SAE, il faut d’abord et surtout se débarrasser d’une carcasse, aussi épaisse qu’inutile, qui permet rarement de présenter une situation mathématique pertinente susceptible d’amener l’élève à inventer ou même à développer un concept mathématique.

Sa Majesté est, par ailleurs, sans pitié pour les étudiants qui, malgré des notes acceptables dans d’autres matières, voient jusqu’à un maximum de vingt pourcent (20%) des points d’un examen de géométrie par exemple, être soustraits à cause de fautes d’orthographe. Et qu’advient-il si cela réduit un acceptable soixante-quinze pourcent à cinquante-cinq pourcent ? L’élève doit reprendre son cours de… géométrie et non un cours de français qui, en principe, devrait l’aider davantage grâce aux compétences de Sa Majesté. Et bien non, c’est sur l’enseignement des autres matières que l’on compte pour corriger les lacunes linguistiques de cet étudiant. On dirait vraiment que Sa Majesté ne croit plus en ses talents.

Voici deux élèves qui ont obtenu soixante-quinze et soixante-cinq pourcent en sciences. Le premier n’ayant perdu aucun point en français mérite réellement sa note. Le second a obtenu quatre-vingt-cinq pourcent en sciences mais, après avoir perdu vingt points en français, il obtient une note finale et officielle de soixante-cinq pourcent en sciences. Cette évaluation ne rend nullement justice à cet élève car, malgré ce qu’elle affiche, soit une évaluation en sciences, elle ne montre pas la valeur de cet élève en sciences. À quand le recours collectif qui pourrait corriger cette fausse représentation ?

Évidemment, il ne faut pas oublier la célèbre légende selon laquelle les difficultés en résolution de problèmes résultent de difficultés en compréhension de textes. Il y a plus de trente années que nous avons démontré la fausseté de cette croyance mais Sa Majesté ne se trouble pas par des recherches qui malmènent ses dogmes de foi.

En mathématiques, on considère qu’une grande partie de la difficulté consiste à comprendre le problème. On considère aussi que la communication de la solution présente souvent des difficultés. Pour ces raisons, les mathématiciens tentent toujours de réduire les énoncés mathématiques à un minimum de symboles et de termes afin de faciliter la compréhension du problème et afin de pouvoir se concentrer sur ce qui présente le plus grand défi, imaginer et construire des solutions.

Voici l’énoncé du problème qui a tenu en échec pendant plus de trois siècles les plus grands esprits de tous les peuples. Alors qu’il est possible que la somme de deux nombres carrés soit égale à un carré (x² +y² = z²) cela n’est pas possible pour des cubes (x³ + y³ = z³ et pour des entiers élevés à une autre puissance entière). Le travail en compréhension de textes est ici fort réduit et il n’est d’aucune aide pour l’étape suivante qui tient davantage de la créativité et de la logique que de toute compétence linguistique. Comment les SAE aident-elles à développer un minimum d’aisance dans cette seconde étape ? En fait, les SAE augmentent inutilement les difficultés lors de la première partie de la résolution d’un problème et sont parfaitement inutiles dans la seconde partie. Conséquemment, puisqu’il faut espérer qu’elles soient utiles au moins en français, Sa Majesté devrait accepter de céder une partie du temps dévolu à l’enseignement du français aux autres matières pour que nous puissions faire son travail et … le nôtre.

Robert Lyons

Ah! Les tables!

2009-10-04T13:00:00.000-04:00

Les élèves ne connaissent plus leurs tables, enfin, moins qu’avant ! Chaque année, l’équivalent de ce qui précède nous est affirmé au moins une dizaine de fois. Est-ce justifié?

Un des problèmes en évaluation des apprentissages est qu’il n’existe pratiquement aucune norme, aucune échelle validée, qui permette de comparer de façon objective les résultats des élèves actuels à ceux du passé.

Cependant, en ce qui concerne les tables, la situation est différente. Dans les années cinquante, une des personnes les plus compétentes de son époque en enseignement des mathématiques, Gérard Beaudry, avait établi certaines normes lesquelles étaient toujours valables vingt ans plus tard. À huit ans, un élève devait réussir en huit minutes et par écrit au moins 90 des 100 combinaisons d’addition ou de soustraction. À 9 ans, un élève devait faire aussi bien mais en sept minutes seulement.

Et ainsi de suite, jusqu’à 11 ans où au moins 90 combinaisons d’addition ou de soustraction devaient être réussies en cinq minutes. En ce qui concerne la multiplication, le barème était le même, mais en commençant à 9 ans. Donc 90 des 100 combinaisons réussies en huit minutes et ainsi de suite.

En division, puisqu’on ne peut diviser pas zéro, il n’y a que 90 combinaisons. L’élève de 9 ans devait en réussir 80 en huit minutes; celui de 10 ans, 80 en sept minutes et ainsi de suite jusqu’à 80 en cinq minutes à 12 ans.

Cette norme est toujours utilisée et montre qu’il n’y a pas eu de baisse de performances en ce domaine. Le problème, c’est que souvent, lorsqu’on observe les performances des élèves, on les compare à des standards arbitraires, à des perceptions ou encore à des performances d’adultes.

Bref, en quarante-deux années d’enseignement il ne nous a pas été possible d’observer de diminution significative relativement à la maîtrise des tables.

Robert Lyons

Peser ne fait pas engraisser.

2009-09-19T09:43:00.000-04:00

Il me semble que c’est Jacques Tardif qui, suite à ses recherches, a conclu qu’au moment de débuter leur scolarité les enfants pensent qu’ils viennent à l’école pour apprendre alors que, deux années plus tard, ils considèrent que c’est plutôt pour être évalués.

La conséquence la plus évidente de la réforme de l’année 2000 au Québec est le régime de terreur imposé depuis quelques années aux enseignantes et aux élèves par le biais de l’évaluation. Avant la réforme, en vingt-huit (28) années d’animations auprès du personnel enseignant, jamais l’évaluation n’a pris autant de place. Depuis la réforme, avant d’amorcer une animation, il faut s’attendre, même si cela n’est pas à l’ordre du jour, à ce que LA QUESTION qui finira par être posée portera sur l’évaluation.

Il fut un temps pendant lequel il n’y avait pas que les enseignantes et les élèves qui comprenaient que peser ne fait pas engraisser, qu’évaluer ne conduit qu’à un seul apprentissage : savoir comment réagir lors d’une évaluation et, ainsi, réussir souvent à déjouer cette évaluation.

Depuis la réforme, enseignantes et élèves doivent plier sous le joug de l’évaluation. Un temps précieux n’est ainsi plus disponible pour l’apprentissage et le temps qui reste se déroule en tentant de dissiper le stress qu’impose déjà une éventuelle évaluation. Comprenons-nous bien, l’évaluation est essentielle, son omniprésence ne l’est nullement.

Malheureusement, lorsque la porte est ouverte à l’imposition aveugle d’une quelconque dictature, telle celle que fait vivre actuellement l’évaluation, il se trouve toujours des émules des célèbres chemises noires d’Hitler qui se feront un devoir de sillonner leur patelin afin de rappeler les dictats qu’imposent quelques fonctionnaires dont le travail est fort peu ou fort mal … évalué.

Robert Lyons

Cette année, pour diverses raisons, Mathadore ne sera publié qu’aux deux semaines et visera principalement à alimenter le blog afin de permettre un débat essentiel après près de dix années de réforme.
Le projet de construire un programme est donc abandonné puisque trop peu de lecteurs se sentaient aptes à donner leur opinion dans ce qui est, avouons-le, un projet qui demande des connaissances et une expérience peu répandues.

2009-05-31T19:10:00.001-04:00

Les réformes : un échec !

Il y a une année environ, un universitaire de Montréal présentait le résultat de recherches qui portaient sur le succès des réformes scolaires. Le nombre de réformes considérées était impressionnant, des centaines, voire même des milliers, ma mémoire me trahit. Ces réformes avaient eu lieu un peu partout sur la planète. La conclusion était claire : les réformes sont presque toujours un échec. On comprendra qu’une si vaste étude ne s’intéressait qu’aux résultats et non à leurs causes. Mais si l’échec est l’aboutissement de pratiquement toutes les réformes, il faut conclure :

- soit qu’elles sont inutiles et que le summum en enseignement a été atteint;
- soit que les réformistes sont incapables de faire leur travail convenablement, travail qui
comprend à la fois le contenu des réformes et leur mise-en-place;
- soit que la société répugne à réformer un système scolaire qui a permis à tant de gens de
réussir dans la vie (Oublions les décrocheurs; oublions ceux qui ont persévéré en vain;
oublions les crises économiques que les génies de la finance, malgré tous leurs diplômes,
n’ont pu éviter; oublions les problèmes de pollution ; et bien d’autres problèmes. Bref, ne
voyons que le beau côté des choses, surtout si nous avons du succès.);
- soit que le personnel des écoles est placé dans une situation qui rend les réformes
inapplicables.

À mon avis, les réformes échouent pour toutes ces raisons, sauf la première. Considérons les réactions de la société face à un «nouveau» programme. Dès qu’il est annoncé il se trouve des dizaines de Don Quichotte qui se donnent le mandat de s’y opposer. Ils connaissent rarement le nouveau programme à fond et sont habituellement incapables de distinguer ce qu’il y a de vraiment nouveau dans ce programme. C’est normal puisque les changements les plus remarqués d’un programme à celui qui lui succède sont superficiels et concernent surtout la terminologie. Malgré tout il en ressort de nombreux débats qui font oublier les véritables problèmes du système d’enseignement, problèmes auxquels les réformistes n’osent jamais s’attaquer.

Faut-il les en blâmer ? Il suffit d’observer que lorsque l’école accepte que les élèves additionnent de gauche à droite au lieu de l’inverse, Don Quichotte et des milliers de clones s’agitent sans se rendre compte que c’est exactement ce qu’ils font en calcul mental.

En fait, une réforme qui viserait à corriger en une seule fois les failles évidentes d’un programme n’aurait aucune chance de réussite, puisque même lorsque les changements se limitent pratiquement à la terminologie, ils sont attaqués en force.

De la parution d’un programme à celle de son successeur, il s’écoule, au Québec, environ dix années; le dernier programme, celui de l’année 2000, étant une exception puisqu’il s’est fait désirer pendant vingt années. Entre la parution de deux programmes, oubliez les ajustements, ce serait reconnaître des erreurs. Ainsi, en 1985, dans son avis au ministre de l’éducation, le Conseil supérieur de l’Éducation du Québec reconnaissait : «Le programme n’est pas exempt de maladresse, avons-nous dit. Mentionnons ici à titre d’exemple, le découpage dans l’écriture et dans l’énumération des nombres de 0 à 69, puis de 70 à 99.»

C’était en 1985. Ce n’est que quinze années plus tard que le ministère corrigera cette «maladresse». Entre 1985 et l’année 2000, date de publication du nouveau programme, un million deux cent mille élèves ont été exposés à cette «maladresse», en première année. Cela correspond à quinze pourcent de la population actuelle du Québec. Mais cette «maladresse» n’était pas la seule qui était connue en 1985 et ce n’était pas la plus dommageable non plus. Il en existe d’autres qui ont touché tous les élèves du Québec depuis des décennies et qui sont toujours présentes dans le nouveau programme.

Modifier un programme est une entreprise colossale et dispendieuse. Il faut, d’une part, publier le nouveau programme, les guides d’interprétation et d’application alors que d’autre part, les éditeurs doivent confectionner de nouveaux manuels. Mais nous vivons en 2009, à l’ère de l’internet. Une modification au programme peut être diffusée et connue en quelques heures. Dans le même temps, il est possible de distribuer, toujours par internet, la description complète d’activités de remplacement qui auront été préalablement et véritablement validées.

À maintes reprises, nous avons proposé de telles modifications et de telles activités dans les bulletins de Mathadore et, souvent, sans réveiller Don Quichotte, de petits changements sont intervenus dans plusieurs classes.

En conclusion, le ministère possède actuellement, grâce à l’internet, la possibilité de réécrire le programme de l’année 2000 ou de commencer la diffusion de ce qui sera le futur programme du Québec. Il suffit de diffuser de simples éléments qui améliorent l’enseignement dès que ceux-ci sont bien identifiés et structurés. En agissant ainsi, le ministère fera davantage en cinq années que ce qui s’est fait lors des cinquante dernières années.

Certes, le ministère ne dispose pas des compétences pédagogiques et didactiques capables de rédiger des unités d’enseignement qui peuvent faire un changement réel et valable, mais ces ressources existent. Elles sont habituellement utilisées par les maisons d’édition, ce qui, avec raison, les disqualifie pour des emplois au ministère. Mais plutôt que de financer un service de la mesure et de l’évaluation qui ne permet nullement d’améliorer l’enseignement et qui laisse peser dans les écoles un stress dont se ressentent maintenant toute l’année élèves et enseignants, que le ministère finance de petites équipes disciplinaires qui auront la mission de pousser à fond les recherches sur la compréhension des difficultés des élèves et de trouver le moyen de les éviter et d’y remédier.

En diminuant ses dépenses relatives à l’évaluation générale des élèves, laquelle est purement inutile puisqu’elle ne conduit jamais à modifier les programmes, en implantant les programmes en douceur, le ministère pourra financer ces petites équipes de travail formées de personnes compétentes. Et si cela devait s’avérer plus coûteux que ce qui se passe actuellement, les économies seraient tout de même considérables grâce aux besoins réduits en services aux élèves en difficulté d’apprentissage.

Bonnes vacances et à l’année prochaine.

Robert Lyons

2009-05-24T18:46:00.003-04:00

Tables et algorithmes (3)

Dans Mathadore 313, nous avons vu que l’apprentissage des tables ne peut précéder celui des techniques de calcul. Nous nous sommes laissés en mentionnant que cela ne signifiait peut-être pas que l’apprentissage des techniques doive précéder celui des tables… De quoi s’interroger une partie de la semaine.

En fait, avant les techniques, avant les tables, il faut bien comprendre le nombre et la numération. Il faut apprendre à jouer avec les nombres. Une technique est essentiellement un jeu avec les nombres. Un jeu qui consiste à transformer les nombres afin de faciliter un calcul donné. C’est une chose dont nous sommes conscients lorsque nous additionnons des fractions. Par exemple l’addition de ½ et 1/3 ne sera effectuée que lorsque ces deux nombres auront été transformés en sixièmes.

La soustraction 36 – 19 ne sera effectuée que lorsque 36 sera transformé en 20 + 16. Pour diviser 744 par 3, on transforme 744 en 600 + 120 + 24. Ces multiples de 3 nous permettent de trouver rapidement la réponse (600 ÷ 3) + (120 ÷ 3) + (24 ÷ 3) = 200 + 40 + 8 = 248.

Vous avez rencontré des élèves qui connaissent bien leurs tables lorsque les nombres à additionner ou à multiplier sont les mêmes (7 + 7, 9 + 9 ou 6 × 6, 8 × 8…) ? Vous leur demandez 7 + 7 ou 8 + 8 et les réponses sont correctes et instantanées. Toutefois, confrontés à 7 + 8, ils disent qu’ils ne savent pas. En fait ils n’ont rien compris, ils ont simplement mémorisé les combinaisons qui s’avèrent les plus faciles. L’élève qui comprend ce que 7 + 8 et 7 + 7 signifient et qui sait que 7 + 7 = 14 pense rapidement que 7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 14 + 1 = 15.

Vous voulez effectuer 848 × 125, allez-vous utiliser l’algorithme traditionnel :

848
×125
4240
1696
848
106 000

Vous perdez votre temps ! Observez ces nombres : 125 = 1000 ÷ 8.

Beaucoup plus rapide!

Que faites-vous pour 5000 – 1426 ? Remplacer cette soustraction par 4999 – 1425 semble rendre les calculs plus simples. Et 45 × 32 ? Pourquoi pas 90 × 16, qui est plus facile et plus rapide?

Nous venons de jouer avec les nombres. Nous venons de tester et de développer la compréhension du nombre et des opérations.

Activité

Au moins une année avant de demander aux élèves d’apprendre les tables par cœur, proposez-leur ce qui suit.

Puisque 7 + 9 = 16, pouvez-vous trouver différentes façons d’y arriver ?

Solutions : 7 + 7 + 2 = 16
7 + 10 – 1 = 16
8 + 8 = 16

Puisque 15 – 7 = 8 pouvez-vous trouver différentes façons d’y arriver ?

Solutions : 10 – 7 + 5 = 8
15 – 5 – 2 = 8
17 – 7 – 2 = 8

Et pour 7 × 9 ?

Solutions : 7 × 7 + 7 + 7 = 63
7 × 10 – 7 = 63

Il existe de nombreux autres exemples. Or si l’élève ne s’habitue pas à transformer 5 × 8 en 5 × 2 × 4 et ensuite en 10 × 4 = 40, il ne le fera pas avec les plus grands nombres.

Bref, il faut que les élèves apprennent à représenter les petits nombres et les opérations sur ces nombres en d’autres nombres et opérations plus simples. Cela doit être fait avant la mémorisation des tables et avant l’apprentissage des techniques de calcul.

Robert Lyons

2009-05-17T21:32:00.003-04:00

Tables et algorithmes (2)

Faut-il commencer par l’apprentissage des tables ou par celui des algorithmes ? À mon avis tout apprentissage doit être pertinent. L’apprentissage des tables, comme celui des techniques de calcul, doit intervenir lorsqu’on a réussi à en faire ressentir la nécessité aux élèves. Ainsi, l’élève qui doit diminuer le temps consacré à jouer avec ses amis parce que, faute de connaître ses tables, il prend beaucoup de temps à faire ses devoirs, ressentira le besoin de mémoriser ses tables assez facilement.

Il existe une autre façon d’envisager la pertinence des tables, il s’agit d’identifier quelles combinaisons doivent être maîtrisées afin d’utiliser avec aisance un algorithme donné.

Voici une façon très efficace de soustraire.

L’élève effectue pour chaque colonne une soustraction dont le résultat est positif si le nombre d’en haut est plus grand que celui du bas et négatif dans le cas contraire. Ensuite, il effectue la soustraction obtenue avec les résultats de chaque colonne.

35 – 29

3 – 2 = 1 En fait, 30 – 20 = 10
5 – 9 = -4
Ensuite 10 – 4 = 6

341 – 178

3 – 1 = 2 (300 – 100 = 200)
4 – 7 = -3 (40 – 70 = -30)
1 – 8 = -7
Enfin 200 – 30 – 7 = 163

C’est une technique géniale qui fonctionne toujours et qui a été inventée par des enfants de sept ans à qui on avait appris, par exemple, que 3 – 5 = -2 et non que 3 – 5 est impossible.

L’élève qui utilise une telle technique n’a jamais besoin d’apprendre les tables de soustractions dont le premier nombre est plus grand que dix puisque, par exemple, il solutionne 15 – 8 en pensant 10 – 0 = 10 et 5 – 8 = -3 donc, 15 – 8 = 10 -3 = 7.

Voici une technique que l’on m’a déjà dit provenir de Russie. Malheureusement tous les ressortissants de ce pays que j’ai connus ne la connaissaient pas. Peut-être que parmi vous, chers lecteurs, quelqu’un saura m’en indiquer la provenance.

49 × 73 → 73
24 × 146
12 × 292
6 × 584
3 × 1168 → 1168
1 × 2336 → 2336
3577

Un autre exemple :

83 × 83 → 83
41 × 166 → 166
20 × 332
10 × 664
5 × 1328 → 1328
2 × 2656
1 × 5312 → 5312
6889

Si vous avez observé les calculs, vous avez sans doute remarqué que le plus petit nombre était divisé par deux et que le reste était négligé… temporairement. D’autre part, le plus grand nombre était multiplié par deux. Ensuite, certains nombres ont été additionnés :
73 + 1168 + 2336 = 3577 donc 49 × 73 = 3577
et 83 + 166 + 1328 + 5312 = 6889 donc 83 × 83 = 6889.

Cet algorithme de multiplication ne nécessite que l’apprentissage des tables de multiplication par deux ou, plus simplement, des tables d’addition de nombres identiques. Jamais on aura besoin de savoir que 3 × 3 = 9, que 5 × 7 = 35…

Alors, on commence par quoi? Apprendre les tables sans savoir quel algorithme sera utilisé ou apprendre un algorithme et, ensuite, apprendre les tables qui s’avèrent utiles pour travailler avec cet algorithme?

Certes, si nous savons quel sera l’algorithme que l’élève finira par utiliser couramment, nous pouvons, au préalable, lui faire apprendre les tables pertinentes. Mais cette pertinence, nous la connaissons, l’élève ne la connaît pas. Quelle sera sa motivation ?

Puisque les tables utiles dépendent des processus de calculs adoptés, l’apprentissage des tables ne peut précéder celui des techniques de calcul. Donc il faut faire l’inverse. Pas sûr!

Robert Lyons

2009-05-10T14:48:00.000-04:00

L’apprentissage des tables et des algorithmes (1).

On se demande parfois si, en dehors de l’apprentissage des tables et des techniques de calcul, certaines personnes accordent de l’importance à d’autres apprentissages mathématiques. On se demande aussi si ces apprentissages, que l’on qualifie de «fondamentaux» ou «d’apprentissages de base», occupent valablement autant de place en enseignement des mathématiques ou, si, au contraire, ils doivent leur popularité à une tradition qui aurait avantage à être remise en question surtout lorsque l’on considère leur rôle réel dans notre société.

En ce qui concerne l’apprentissage des tables, pourquoi certains les apprennent-ils encore jusqu’à 12 + 12 et jusqu’à 12 × 12 ? Pourquoi pas jusqu’à dix, quinze ou vingt ? Est-ce que l’utilisation de la mesure en pouces, pieds et milles ou encore la mesure en onces, livres et grosses pouvaient justifier l’apprentissage des tables jusqu’à douze alors que le passage à la mesure selon le système international d’unités ne le justifie plus du tout ?

Par ailleurs, le nouveau programme du Québec mentionne le développement de processus personnels d’addition et de soustraction au premier cycle du primaire alors que les processus dits «conventionnels» sont situés au deuxième cycle pour ces mêmes opérations. La même séquence est observée en ce qui concerne la multiplication et la division mais un cycle, donc deux années plus tard. Avec les processus personnels, le programme mentionne l’apprentissage des tables jusqu’à dix.

Ce qui est évident dans ce qui précède, c’est que les processus personnels constituent des processus bien mystérieux pour les auteurs de ce programme. En fait, qu’est-ce qu’un processus conventionnel sinon un processus personnel qui a fait consensus auprès d’une collectivité ? D’un pays à un autre, et même parfois, dans le même pays, c’est le cas au Canada, plusieurs processus «conventionnels» sont utilisés. Ainsi, anglophones et francophones du Canada n’utilisent pas le même algorithme de division des nombres entiers. Derrière leurs deux processus se cachent toutefois les mêmes propriétés mathématiques, seule la codification des processus est différente. C’est tout de même amusant, car la division conventionnelle utilisée par les francophones sera qualifiée de «processus personnel» dans les écoles anglophones et le phénomène inverse sera observé dans les écoles francophones.

Revenons aux processus personnels. En lisant le programme, on a l’impression qu’on leur confie le même rôle que celui qui est souvent confié à la manipulation : une sorte d’introduction pour les jeunes élèves à certains concepts, introduction qu’il faudra plus ou moins rapidement laisser de côté en faveur de «mathématiques plus sérieuses». Que faire alors si l’élève du secondaire utilise encore divers processus personnels au lieu des processus conventionnels ? Est-ce possible que cela manifeste une compréhension supérieure du nombre et des opérations ?

Est-ce possible que nous ayons appris des processus conventionnels sans vraiment les comprendre ? On pense à la division de fractions dans laquelle la division par la seconde fraction est remplacée par la multiplication par la fraction inverse. Mais, il y a beaucoup plus simple, pourquoi additionner et soustraire par écrit de droite à gauche ? Pourquoi ne pas faire l’inverse ? D’autant plus que l’on retrouve de nombreuses personnes qui, souvent inconsciemment, calculent «de gauche à droite» en calcul mental. Et pourtant, le calcul mental est considéré plus difficile que le calcul écrit. Où est la logique: la technique la plus facile pour le calcul écrit qui est considéré le plus facile et la technique la plus difficile pour le calcul mental qui est plus exigeant? À moins qu’additionner et soustraire de gauche à droite soit toujours ce qu’il y a de plus facile.

Vous croyez peut-être n’avoir jamais calculé «de gauche à droite» ? Essayons ce qui suit. Vous devez payer une somme de 14,79$ avec un billet de 20$. Combien doit-on vous remettre ? Si vous avez déjà tenu une caisse, vous pensez à compléter en dollars d’abord donc 20¢ … 21¢, puis 5$ … 5,21$. Cet algorithme se justifie par le matériel dont vous disposez et le travail à effectuer. Par contre, si vous n’avez jamais occupé un poste où vous deviez rendre la monnaie, vous avez probablement pensé d’abord qu’entre 20$ et 14,79$, il y avait un peu plus que 5$. Ensuite vous avez trouvé 5,20$ …5,21$. Vous avez calculé en vous occupant d’abord des grandes unités, contrairement à ce qui est fait couramment en calcul écrit.

Alors voilà, en calcul écrit et en calcul mental, plusieurs d’entre nous utilisons deux processus «conventionnels» différents et ce, souvent, sur les mêmes nombres. Parce qu’elle est enseignée à l’école, la technique écrite est qualifiée de processus conventionnel alors que la technique utilisée en calcul mental est perçue comme un processus personnel. Peut-on penser que l’utilisation de ce processus personnel démontre une meilleure compréhension que l’utilisation, par imitation, du processus conventionnel ? Et que faire avec les élèves qui effectuent habituellement leurs additions et leurs soustractions écrites de gauche à droite ? Faut-il insister sur l’apprentissage et l’utilisation régulière d’un processus écrit plus conventionnel ?

Avant de répondre à cette question, je vous prie d’être indulgent puisque l’auteur de ces lignes n’effectue ses additions et ses soustractions écrites que de gauche à droite depuis l’âge de huit ans. Cela semble lui avoir toujours permis de calculer plus rapidement que la majorité des autres élèves d’abord et des adultes par la suite ? Est-ce possible que la conservation de ces techniques personnelles en addition et en soustraction, entre autres, permette de concevoir les mathématiques comme un domaine de créativité ? Est-ce possible qu’une telle perception des mathématiques conduise à croire que la mémorisation et la pratique répétitive ne sont pas à la base de l’apprentissage des mathématiques ? Est-ce possible que la plus grande différence entre les «forts en maths» et ceux qui éprouvent des difficultés tienne davantage à la perception de ce que sont les mathématiques et à la façon de les apprendre qu’à une mystérieuse et toujours introuvable «bosse des mathématiques» ?

À vous !
Robert Lyons

2009-05-03T12:09:00.004-04:00

Dénominateur commun (2)

Le dénominateur désigne le nom de l’unité alors que le numérateur en mentionne le nombre. Nous savons que certaines opérations arithmétiques exigent la présence d’un dénominateur commun. Quelle image mentale simple peut guider l’élève afin de trouver un dénominateur commun ?

Activité

Demandez aux élèves s’il y en a qui parlent d’autres langues que le français. Attendez leurs réponses et demandez-leur comment on dit tel mot dans ces autres langues. Demandez-leur s’ils parlent bien de la même chose, même si les termes sont différents. Ils devraient comprendre qu’il y a de nombreuses façons de dire la même chose, soit en utilisant d’autres langues, soit, sans changer de langue, en utilisant des synonymes.

Demandez-leur alors comment un francophone, qui ne parle pas anglais, et un anglophone, qui ne parle pas français, peuvent communiquer entre eux. Attendez-vous aux réponses suivantes.

Par signes;
Peut-être que les deux parlent espagnol;
En demandant un interprète;
Un des deux peut apprendre la langue de l’autre;

Mentionnez qu’en mathématiques, c’est très semblable. Il est possible de nommer la même quantité de façons différentes. Ainsi, supposons qu’une personne, qui parle seulement la «langue des tiers», dise que les deux tiers de sa page sont coloriés alors qu’une autre personne, qui ne parle que la «langue des cinquièmes», lui réplique que les trois cinquièmes de sa feuille sont coloriés, pour se comprendre, ces personnes ont les choix suivants :

Demander un interprète qui parle ces deux langues;
Apprendre une troisième langue qui servira à chacun;
Un des deux apprend la langue de l’autre.

Oublions l’interprète et essayons d’apprendre une troisième langue.

Accompagnez ces propos par les deux dessins suivants :

Adossez les deux pages et pliez-les sur les lignes de séparation. Tracez des lignes le long de ces plis. Vous obtiendrez :

Faites remarquer qu’une nouvelle langue vient d’être construite. Laquelle ? (La langue des quinzièmes.) Demandez alors aux élèves de traduire 3/5 et 2/3 dans la langue des quinzièmes en observant les deux rectangles.

Faites ressortir que dire ou écrire 3/5 ou 9/15 désigne la même quantité. Même chose pour 2/3 et 10/15.

Reprenez l’exercice avec une demie et trois quarts. En pliant la première feuille en deux, vous obtenez donc des quarts et les élèves peuvent constater l’égalité qui existe entre les fractions une demie et deux quarts. Dans ce cas, il y en a un qui «a appris la langue de l’autre».

Prolongez l’activité en séparant également une feuille en x parties dans un sens et en demandant aux élèves de la séparer également en un nombre de parties de leur choix dans l’autre sens. En quelles nouvelles langues peuvent-ils traduire le fractionnement original ? Ne soyez pas trop exigent au sujet des fractionnements égaux, il suffit qu’ils en comprennent l’importance.

Par la suite, prenez un de ces fractionnements et montrez tous les fractionnements trouvés. Ordonnez ces fractionnements. Si le fractionnement original était en tiers, les fractionnements trouvés devraient donc être des sixièmes, des neuvièmes, … Dès que la suite est identifiée, la construction physique des différents fractionnements devient moins nécessaire puisqu’il est facile de calculer les fractionnements possibles grâce à la suite qui aura été remarquée.

Robert Lyons

2009-04-26T19:35:00.000-04:00

Dénominateur commun (1)

Lorsque deux nombres a et b doivent être additionnés, l’addition ne peut être effectuée que si ces nombres sont exprimés au moyen d’une unité commune. Ainsi, pour additionner 3 dizaines et 4 unités, ces deux nombres doivent être exprimés, par exemple, en dizaines donc 3 dizaines et 0,4 dizaine ou en unités donc 30 unités et 4 unités. On obtient alors 3,4 dizaines ou 34 unités.

En algèbre la somme de a et de b restera a + b tant qu’une unité commune ne sera pas connue. Par exemple si a = 5c et b = 3c alors, puisque 5c + 3c = 8c, a + b = 8c. Le problème se pose aussi pour additionner des fractions telles 1/2 et 1/3.

Afin d’aider les élèves à additionner des fractions, il faut d’abord leur faire ressentir l’importance d’une unité commune. Ceux-ci sont dans une des deux positions suivantes : des novices ou des initiés. Chez les initiés, certains savent comment additionner des fractions, qu’ils le comprennent ou non, alors que d’autres sont en échec.

Activité pour les novices

Écrivez les propositions mathématiques suivantes et, demandez à chaque fois aux élèves de les compléter :

3 dizaines + 4 dizaines =
3 mètres + 4 mètres =
3 heures + 4 heures =
3 cinquièmes + 4 cinquièmes =

Habituellement les élèves complètent cette dernière proposition par 7 cinquièmes. Faites-leur remarquer que toutes ces propositions peuvent s’écrire de façon abrégée :

30 + 40 = 70
3 m + 4 m = 7 m
3 h + 4 h = 7 h
3/5 + 4/5 = 7/5

Dites-leur ensuite qu’ils se sont pas trompés en complétant la dernière proposition. Acquiescez au fait que 3 + 4 = 7 en montrant les numérateurs, mais montrez que 5 + 5 n’est pas égal à 5, mais à 10 pour les dénominateurs.

S’ils ont compris, ils vous diront que des dizaines additionnées à des dizaines donnent des dizaines et non des centaines, que des mètres additionnés à des mètres donnent des mètres et non des kilomètres, donc que des cinquièmes additionnés à des cinquièmes donnent des cinquièmes.

Félicitez-les et proposez 3x + 4x = ___ Certains vous demanderont ce que les x signifient, dites-leur que vous l’ignorez. Attendez-vous à une réponse du genre : « Ce n’est pas grave et cette addition donne 7x de toute façon.».

Activité pour les initiés

Il faut d’abord s’assurer qu’ils comprennent l’importance du dénominateur commun alors nous allons jouer avec eux quelque peu.

Au tableau, écrivez 1 + 4 = ___ et demandez-leur de compléter. Attendez-vous à ce qu’ils répondent 5, ce qui n’est pas bête… Et pourtant, vous allez dire que la réponse est onze (11). Étonnement assuré ! Pas seulement de la part des élèves… n’est-ce pas ?

Maintenant intercalez le mot semaine et les mots jours comme suit :

1 semaine + 4 jours = 11 jours

Proposez-leur un nouvel essai.

1 + 1 = ___

Certains diront deux, d’autres huit, d’autres… Écrivez 25 en intercalant jour et heure(s) comme suit :

1 jour + 1 heure = 25 heures

Ils comprendront alors l’importance du dénominateur commun et ne seront pas prêts d’oublier ces minutes d’étonnement et d’inquiétude.

La semaine prochaine : Comment trouver le dénominateur commun grâce à une image mentale simple.

Robert Lyons

2009-04-19T19:12:00.006-04:00

Termes manquants, relatifs et algèbre

À part six années d’études, quelles différences y a-t-il entre 3 + ___ = 5 et 3 + x = 5 ? À part quatre années d’études quelles différences y a-t-il entre +6 –2 = +4 et –6 +2 = –4 ? Si l’on ne considère que l’aspect mathématique, il n’y a aucune différence entre les deux premières équations et il n’y a aucune différence entre les deux dernières égalités.

Cependant, en apprentissage les différences sont énormes et cela se remarque par de nombreuses difficultés surmontées difficilement par les élèves. Pourquoi ? À cause des années d’écart entre la présentation des diverses phrases mathématiques mentionnées plus haut.

Voici donc une activité qui servira aussi bien à introduire l’addition et la soustraction avec ou sans terme manquant chez les élèves de six ans. La même activité peut être utilisée auprès des élèves de dix ans au moment d’introduire les entiers relatifs et chez les élèves de douze ans pour aborder l’algèbre.

Activité

Questionnez d’abord les élèves afin de savoir quels sont ceux qui pratiquent des sports d’équipe. Demandez-leur de mentionner les noms de quelques équipes qu’ils connaissent. Continuez en disant qu’en mathématiques les équipes ne s’appellent pas les Ours ou les Gazelles, mais les Plus et les Moins. Assurez-vous que les élèves connaissent un sport d’équipe pour lequel chaque but vaut un point. Le hockey, le baseball ou le soccer par exemple.

Tracez ensuite le tableau suivant :

Racontez que, lors d’un match de…, l’équipe des + a marqué trois buts alors que celle des – n’en a obtenu qu’un seul. Demandez quelle équipe a gagné ? Notez + sous le tableau. Et par combien de buts ? Ajoutez 2. Vous avez donc écrit +2. Recommencez avec +2 et –5. D’accord, au Québec l’équipe des – ne peut gagner avant que les élèves soient en cinquième année, donc âgés de dix ans. Mais les élèves de six ans ne lisent pas les programmes d’études et ne savent pas qu’ils sont trop jeunes pour comprendre que +2 –5 = –3 tout en comprenant que +5 –2 = +3. Profitez de leur ignorance et oubliez la science des auteurs de programmes. N’hésitez donc pas à proposer :

Après trois ou quatre autres problèmes du genre dont +3 –3 = ±0, proposez :

Notez aussi ce qui précède comme suit : +4 – ___ = +3 et + ___ –2 = +1. Faites remarquer que ces deux traits – ___ dans +4 – ___ = +3 pouvant prêter à confusion, le nombre à trouver sera désormais indiqué par x, d’où :

Encore une fois, ne parlez pas de programmes et d’algèbre. Laissez les élèves, même ceux de six ans, s’attaquer à ces problèmes en… toute innocence.

Voilà donc tel que promis, une activité très simple qui peut éviter à vos élèves de solides et persistantes difficultés d’apprentissage qui ne dépendent ni des mathématiques, ni des capacités des élèves, ni de vos talents, mais bien des dogmes professés par des penseurs trop souvent incapables d’enseigner.

À vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com/

Robert Lyons

La semaine prochaine : Comment aborder l’enseignement de l’addition de fractions ?

2009-04-13T10:56:00.002-04:00

Préscolaire : contenu disciplinaire (4)

Jusqu’à maintenant, les activités proposées ont porté sur la correspondance directe entre une quantité à dénombrer ou à mesurer. Il s’agissait toujours de comparer un ensemble à un nouvel ensemble ou une longueur à des bâtonnets qui servaient d’unités de longueur. C’est un premier pas vers la compréhension de la mesure et du dénombrement. Tentons de franchir le pas suivant.

Imaginez qu’il faille comparer deux ensembles d’objets distants ou simplement la largeur d’une table et sa longueur. Cette fois, la comparaison directe est impossible ou peu pratique. Il faudra utiliser un outil intermédiaire. Lorsqu’il s’agit de dénombrer des ensembles, la comptine des nombres : un, deux, trois… joue ce rôle alors que la règle fait un travail équivalent en mesure.

Activité

Chaque élève reçoit entre quinze et vingt jetons. Il doit les laisser sur sa table de travail. Dans un coin éloigné de la classe, disposez un ensemble de seize jetons.

Les élèves peuvent déplacer les jetons qui sont sur leur table et ceux qui sont sur la table éloignée. Cependant, ils ne peuvent que les déplacer sur les tables où ils sont, jamais les transporter ailleurs.

Leur travail consiste à établir la comparaison entre le nombre de jetons qui sont sur leur table et le nombre de jetons qui se trouvent sur la table commune.

Laissez-les discuter du problème et proposer des idées de solutions qu’ils devront tester lorsqu’ils seront à court d’idées.

Voici diverses possibilités ou divers intermédiaires possibles.

1. Compter les éléments de chaque ensemble.
2. Prendre un autre ensemble de jetons et l’associer à chaque ensemble.
3. Faire des arrangements comparables avec les jetons de chaque ensemble. Par exemple, faire tous les paquets possibles de cinq jetons ou encore disposer les jetons en triangles ou en carrés :

4. Pousser à l’écart un jeton de l’ensemble commun et aller faire la même chose avec l’ensemble personnel. Continuer jusqu’au moment où tous les éléments d’un ensemble aient été mis à l’écart.

Notes :

Considérant tous les courriels d’abonnement que j’ai reçus récemment, en provenance du personnel du préscolaire, je me rends compte que la description d’activités plaît beaucoup. Mais j’ai en même temps l’impression de laisser tomber mes lecteurs qui travaillent à d’autres degrés.

Pour cette raison, à compter de la semaine prochaine, je proposerai en alternance des activités pour tout le primaire et… peut-être pour le secondaire.

Et le projet de programme – Il reste là en arrière-plan. Sans doute que la lecture et l’expérimentation des activités que je vous décris servira à préciser et à valider le contenu éventuel de ce programme.

À vous !

Robert Lyons

2009-04-05T21:26:00.000-04:00

Préscolaire : contenu disciplinaire (3)

Cette semaine, voici une nouvelle activité qui développe le concept du nombre. Encore une fois elle peut être réalisée sans que la terminologie numérique n’intervienne. Cela n’est d’ailleurs pas souhaitable pour plusieurs élèves qui, bien que connaissant la comptine des premiers nombres, n’en saisissent pas nécessairement le sens. Avec les élèves qui savent compter correctement et qui comprennent ce qu’ils font, laissez-les vous le démontrer mais demandez-leur d’imaginer d’autres solutions.

Le loup nous a-t-il visité ?

Afin de solutionner les problèmes de cette activité, les élèves devront mettre de l’ordre dans l’ensemble d’éléments à surveiller ou utiliser un ensemble d’objets ou de symboles qui serviront de témoins. Mettre de l’ordre est une des obligations de base lors de grands dénombrements alors que l’ensemble d’éléments témoins est à la base de la compréhension du rôle des nombres.

Placez devant chaque élève un nombre de quatre à six jetons. Racontez-leur que ces jetons représentent des moutons alors qu’eux sont les gardiens des troupeaux de moutons. Invitez les élèves à observer ce qu’ils ont pendant quelques secondes. Ensuite, demandez-leur de fermer leurs yeux et de coucher leur tête sur leur table.

C’est la nuit, les gardiens dorment mais les loups rôdent. Vous êtes un de ces loups. Passez près de chaque troupeau et enlevez aucun, un ou deux mouton(s) par troupeau. Ajoutez-en un dans quelques troupeaux (naissance). Laissez aussi, près des troupeaux, une carte à jouer, face cachée, qui indiquera ce que vous avez fait grâce à un code très simple que vous modifierez pour chaque problème. Par exemple : cœur : aucun changement; carreau : un mouton de disparu; trèfle : deux moutons de disparus; pique : une naissance.

Demandez aux gardiens de troupeaux de se réveiller afin de vérifier si les loups ont mangé de leurs moutons. Qu’en pensent-ils ? Prenez note des réponses avant de mentionner aux élèves comment interpréter votre code. Avant de donner le second problème, dites-leur que votre code changera la prochaine fois.

Modifiez le nombre de jetons de chaque élève, respectez le maximum de six et … tout le monde au dodo, sauf le loup.

Cette fois, lors de la correction, demandez aux élèves de discuter de ce qu’il faudrait faire pour savoir si le nombre de moutons est inchangé. N’imposez pas de solution, laissez-les proposer leurs idées et les valider lors du prochain problème.

N’oubliez pas de noter les résultats, ceux-ci vous aideront à identifier les élèves qui ont développé des bases importantes sur le chemin de l’acquisition du concept de nombres.

Reprenez régulièrement cette activité tout en augmentant progressivement le nombre de moutons. En fait, la simple observation de quantités inférieures à neuf peut suffire pour réussir ces problèmes. Les élèves peuvent observer une configuration spéciale et s’en souvenir. Le dénombrement est alors inutile. Cependant, plus le nombre de moutons se rapprochera de la vingtaine, plus ce sera difficile.

On comprendra qu’une excellente stratégie consiste à former des modèles avec les jetons à surveiller. Par exemple, l’élève qui place ses six jetons, comme sont situés les points sur un dé, se donne une excellente chance de constater des changements. Et, lorsque les quantités augmentent, on peut faire des groupements identiques de quatre à six jetons, quitte à ce qu’il en reste deux ou trois tout près. Il suffit ensuite de «prendre une photo» et de tenter de la garder en mémoire … toute une nuit.

Le dénombrement est aussi une excellente stratégie, mais pensez aussi à une comptine dont chaque mot représente un mouton. Connaissant la comptine, il suffit de se souvenir du mot désignant le dernier mouton.

Une autre technique, similaire au dénombrement ou à la comptine, consiste à former une collection ayant le même nombre d’éléments qu’il y a de moutons. Une collection de perles dont on se fera un collier, par exemple.

Ne proposez aucune des stratégies précédentes tant que le nombre maximum de jetons ne dépassera pas douze et ce, même si peu d’élèves réussissent. Par la suite, s’ils n’ont pas proposé les stratégies mentionnées plus haut, faites-en la proposition et recommencez le jeu en leur demandant d’utiliser ces stratégies. Observez la progression de vos élèves.

À vous !

Robert Lyons

2009-03-29T21:38:00.000-04:00

Préscolaire : contenu disciplinaire (2)

Dans Mathadore 305, nous nous sommes quittés au moment où l’élève devait dénombrer de grandes quantités d’objets, disons au-delà d’une trentaine. De tels dénombrements exigent de mettre de l’ordre, ce n’est pas le cas pour de petits dénombrements pour lesquels il est facile de distinguer les objets comptés des autres. De plus, lors de petits dénombrements, un dérangement, qui fait oublier le compte ou encore quels sont les objets dénombrés des autres, sera vite compensé. Avec de plus grandes quantités, cela devient moins intéressant de recommencer.

Nous allons donc devoir préparer les élèves à faire des groupements qui vont, éventuellement, leur permettre de dénombrer de grandes quantités. Nous le savons, dans ces cas-là, il faut avoir recours à des dénombrements égaux. Pour cette raison, il faudra d’abord initier les élèves à ordonner leurs dénombrements, c’est-à-dire, à voir si deux ensembles sont égaux ou inégaux. On utilisera, en parallèle, la mesure et le comptage.

NOTE : Nous nous rendons bien compte que nous décrivons des activités plutôt que des
sujets d’études tels que nous le voyons dans les programmes. En fait, quelques
décennies de travail nous ont permis de constater à quel point les programmes
sont interprétés de façons fort différentes. Le risque est moins grand lorsqu’on
commence par les illustrer par des activités.

À ce sujet il est d’ailleurs déplorable que les guides pédagogiques, s’il y en a,
publiés par le ministère, le sont souvent plusieurs années après la parution du
programme. Trop tard! Des manuels ont alors été rédigés, ainsi que des activités
de provenances diverses. Tout ce matériel dépend des interprétations de chacun et
l’on observe que ces interprétations sont souvent incompatibles entre elles. Au
moment de la parution des guides du ministère, il est trop tard, des habitudes ont
été prises mais surtout, les interprétations diverses ont souvent conduit à des outils
d’apprentissages dans lesquels ce qui est appris une année est contredit l’année
suivante.

En guise d’exemple, dans une même commission scolaire, les élèves apprenaient à
neuf ans que les coordonnées cartésiennes désignaient toujours les espaces entre
les lignes du quadrillage, tel que cela se fait sur un échiquier. Or, une année
scolaire plus tard, les coordonnées désignaient désormais des points, tel que nous
les utilisons sur une carte géographique. Enfin, l’année suivante, on revenait à ce
qui se faisait deux années plus tôt. Or personne du personnel enseignant n’avait
remarqué cela mais, on notait beaucoup de difficultés d’apprentissage dans ce
domaine dans cette commission scolaire, beaucoup plus qu’ailleurs, là où ce
matériel «local» n’était pas utilisé.

Revenons donc aux grands dénombrements. Mentionnons d’abord que le fait de pouvoir «compter» jusqu’à quinze, trente ou cent ne démontre pas que l’élève comprend ce que cela implique. Pour cette raison, il faudra que ses raisonnements s’appuient sur des observations du matériel qu’il utilisera abondamment.

NOTE : Il est recommandé de faire ces activités collectivement, les élèves discutant
entre eux de leurs hypothèses et de leurs vérifications.

Première activité :

Commençons par le dénombrement de petites quantités à partir de la mesure de réglettes de longueurs diverses.

Dans un premier temps, sortez les cubes-unité. Ensuite, sortez progressivement des réglettes de longueurs différentes. Chaque fois, demandez que ces réglettes soient mesurées en alignant les réglettes-unité le long de la réglette à mesurer. Si les réglettes ne sont pas bien collées l’une sur l’autre, amusez-vous soit à les coller davantage, soit à les espacer un peu plus de sorte que le nombre de réglettes-unité varie pour la même réglette à mesurer. Qu’en pensent-ils ?

Deuxième activité :

Placez deux réglettes de même longueur de façon à ce qu’elles soient parallèles, mais décalées une par rapport à l’autre. Demandez aux élèves s’il leur faudra le même nombre de réglettes-unité pour mesurer la longueur de ces deux réglettes. Écoutez leurs prédictions et prenez des notes afin de savoir quels élèves manifestent déjà des comportements opératoires. Demandez-leur ensuite de vérifier. Comment interprètent-ils leurs découvertes ?

Décalez davantage les mêmes réglettes et reprenez l’exercice.

Changez de réglettes et refaites un ou deux exercices semblables.

NOTE : Vous êtes en train de travailler la conservation du nombre et la conservation de
la longueur. Il s’agit de concepts importants et incontournables en
mathématiques. Prenez votre temps. Avec les élèves qui ne réussissent pas, s’ils
n’ont pas de problèmes avec la manipulation, n’insistez pas. Passez plutôt aux
exercices qui suivront la semaine prochaine et qui visent les mêmes concepts.

À vous !

Robert Lyons

2009-03-22T18:40:00.000-04:00

Préscolaire : contenu disciplinaire (1)

Essentiellement, les mathématiques touchent trois domaines : les quantités, l’espace et les propositions.

Les quantités

Les quantités sont dites discrètes ou continues. Dans chaque cas, l’unité de quantification doit être définie et constante. Dans le domaine du continu, c’est-à-dire de la mesure, l’unité est une grandeur physique définie par une convention qui, idéalement, est universelle, sinon fort répandue : le mètre, l’heure, le litre, l’ampère, … Ces unités sont parfaitement identiques. Il n’y a pas de petits litres ou de grands litres. Pour cette raison, il est possible de les additionner, de les soustraire, de les multiplier, de les diviser sans risques de contradictions. Ainsi, 1m + 3m > 1m + 2m (m = mètre).

Les unités discrètes sont souvent loin d’être identiques et on ne peut les additionner, par exemple, qu’après avoir précisé ce que nous considérons être la propriété dont l’opération arithmétique tiendra compte. Cette propriété désignera toujours le nombre d’objets mais jamais son nom. Prenons un exemple. Dans deux sacs, on a déposé des objets. Il y a deux objets dans le premier sac et trois dans le second. Combien d’objets avons-nous ? Cinq ou sept ? Cela dépend des objets qu’il faut considérer. Les sacs sont des objets que nous avons, mais faut-il les dénombrer ? La réponse sera non si l’unité est définie comme étant ce qu’il y a à l’intérieur des sacs. La réponse sera oui si l’unité est définie comme étant un objet provenant du marchand.

Mais si un sac contient des pommes et l’autre des gants, pouvons-nous additionner les nombres qui représentent le contenu des sacs ? Oui, si et seulement si, nous ne considérons que le nombre d’objets et aucune autre de leurs propriétés. Il en résulte que 5 = 5 même si le premier sac contient des pommes et le second des gants. La seule chose qui importe étant le nombre d’objets. C’est pour cette raison que l’on s’abstiendra d’écrire 5 gants = 5 pommes.

C’est une des merveilles des mathématiques que d’avoir mis sur pieds un ensemble de termes et de symboles qui peuvent aussi bien désigner des personnes, des idées ou des objets. Mais, s’il y a cinq pommes dans un sac et 5 autres pommes dans un autre sac, pouvons-nous écrire que 5 pommes = 5 pommes ? Pour le savoir, lequel de ces deux sacs prendriez-vous afin de faire le plus de compote ? Cela dépendrait de la grosseur des pommes n’est-ce pas ? Or si un sac contient de petites pommes et l’autre de grosses pommes, vous devriez en conclure qu’au début vous aviez 5 pommes = 5 pommes mais, plus tard que1 compote < 1 compote, ce qui est illogique.

En ce qui concerne les quantités, au préscolaire, il y a lieu de débuter par l’étude de la mesure de longueurs. D’abord, il faut que l’élève apprenne à comparer correctement les longueurs de crayons, de bâtonnets ou de réglettes. Ensuite, il faut qu’il apprenne à comparer la longueur d’un objet à la longueur totale d’un ensemble de bâtonnets qui, étant identiques, serviront d’unités.

À l’étape suivante, il devra dénombrer un ensemble d’objets en associant à chacun de ces objets une réglette-unité. De cette façon, ces objets perdront toutes les propriétés sauf celle qui désigne leur nombre. De plus, grâce aux réglettes-unité, il sera possible de comparer le nombre d’éléments de divers ensembles. Ainsi, l’élève aura l’occasion de comprendre à la fois la conservation du nombre et celle de la longueur.

Lorsque les élèves seront devenus habiles avec ce qui précède, mais sur des ensembles de moins d’une dizaine d’objets, il sera temps de leur proposer des ensembles qui contiendront de plus en plus d’éléments. Si comparer entre eux des ensembles de cinq et sept éléments est relativement simple, le problème est fort différent lorsque ces ensembles contiennent chacun plus d’une vingtaine d’éléments.

En effet, tenter d’aligner d’aussi grands ensembles de réglettes-unité demande une grande dextérité. Et, peut-être que l’élève va manquer de réglettes-unité J. Il faut alors laisser l’élève réfléchir à ce problème et, éventuellement, comprendre qu’en regroupant un certain nombre de réglettes-unité, elles peuvent être remplacées par une réglette plus grande.

En passant, notez que, pendant toutes les activités précédentes, les nombres n’ont jamais été écrits. On s’est contenté de les évoquer oralement.

La suite, la semaine prochaine.

À vous !

Robert Lyons

2009-03-15T19:48:00.002-04:00

Mémoire assistée

Que ce soit au préscolaire, au primaire ou au secondaire, de nombreux élèves se fient sur leur mémoire pure sans connaître les techniques simples qui leur permettraient de «soulager» cette faculté. La connaissance de la comptine des nombres : un, deux, trois… est spectaculaire chez les jeunes enfants, mais elle ne démontre nullement la compréhension du concept de nombre. Certains enfants de cinq ans connaissent déjà certaines combinaisons d’addition, divers termes de géométrie ou de mesure. C’est intéressant, mais ne faudrait-il pas penser, non seulement à meubler leur mémoire, mais aussi à développer leur capacité à mémoriser ?

A : Marteau, veston, chaise, bicyclette, crayon, débarbouillette, coffret, guitare, lampe.

B : Vert, tulipe, pantalon, gant, rose, jaune, bleu, bas, œillet.

Si vous tentez de mémoriser les deux listes de mots précédentes, même si elle contiennent toutes deux neuf mots, il y a de fortes chances que vous réussissiez plus facilement à mémoriser la seconde liste que la première si vous avez remarqué qu’il est possible de classer ses termes : trois couleurs, trois vêtements et trois fleurs. Même si vous n’avez pas tenté de mémoriser les termes de la seconde liste, vous pouvez probablement en nommer quelques-uns en pensant aux trois catégories de mots que l’on y retrouve.

Et maintenant, combien de mots de la première liste pouvez-vous nommer ? Probablement beaucoup moins que ce que vous avez réussi avec la seconde liste.

En revenant de sa promenade en bicyclette, Manon enlève son veston et se lave la figure avec une débarbouillette. Une note, écrite au crayon, lui rappelle qu’elle doit aller chercher sa guitare au grenier. Elle prend une lampe et un marteau afin de trouver et d’ouvrir le coffret placé sur une chaise dans un coin du grenier. C’est dans ce coffret qu’elle range sa guitare.

Relisez le texte précédent deux fois. Et maintenant, combien de mots (en italique) de la liste A pouvez-vous mentionner ? N’est-ce pas plus facile ainsi ?

Essayez maintenant de visualiser les scènes suivantes :

1. Une fillette sur une bicyclette, son veston et sa figure sont couverts de boue.
2. La même fillette se lave le visage avec une débarbouillette tout en regardant une feuille de papier sur laquelle on a tracé le dessin d’une guitare, avec un crayon.
3. Un coin du grenier, éclairé par une lampe, dans ce coin, un coffret posé sur une chaise et un marteau appuyé sur le coffret.

Si vous visualisez mentalement ces trois scènes, il vous sera plus facile de vous souvenir de la liste A.

Dans une semaine, ce sera encore possible. Avec le temps, la liste B deviendra moins évidente alors que la liste A, que vous l’ayez apprise en vous racontant l’histoire de Manon ou en visualisant les trois scènes, restera plus clairement dans votre mémoire.

Plusieurs élèves tentent de mémoriser en utilisant leur mémoire «pure» alors que d’autres l’assistent en établissant des liens logiques (liste B) ou des liens analogiques (liste A).

Imaginez une grille carrée de neuf cases. Dans chacune de ces cases nous pouvons placer un élément sans rapport avec les éléments des autres cases. Considérez maintenant que, d’une personne à l’autre, certaines réussiront à se souvenir de trois, d’autres de cinq et d’autres de neuf des éléments placés dans cette grille. Bref, considérez que les capacités de la mémoire pure varient d’un individu à un autre. Pensez à la liste B, elle contient neuf éléments distincts. En les classant, nous obtenons trois groupes d’objets qui ne sont plus indépendants. Chaque groupe peut n’occuper qu’une seule case. Pour celui qui a de la difficulté à mémoriser plus de cinq éléments distincts, son travail est facilité grâce à un classement logique par couleurs, vêtements et fleurs. Mais est-ce que le rouge est une de ces couleurs ? Y a-t-il un chandail ?

Essayons autre chose. Voyez-vous cette rose dessinée sur ce pantalon vert ? Et cette tulipe jaune sur ce bas ? Et cet œillet dans ce gant bleu ? Il ne vous faut maintenant que trois cases afin de loger ces neuf mots dans votre mémoire. Mais attendez, on sonne à la porte. En ouvrant la porte, une personne vous tend un œillet avec son gant bleu. Sur son pantalon vert est brodée une rose magnifique. On remarque aussi que ses bas sont décorés de tulipes jaunes. Construisez-vous une image mentale de ce personnage, lorsque vous le verrez bien, il ne prendra plus qu’une seule case de votre grille de départ. Le travail de votre mémoire devient plus facile.

Ne croyez-vous pas que de telles techniques doivent être enseignées aux élèves dès le préscolaire ?

Robert Lyons

2009-03-08T11:33:00.006-04:00

Au préscolaire : la non-contradiction (2)

Dans Mathadore 302, on pouvait lire une activité qui permet de déceler la capacité d’un élève à reconnaître une contradiction. Voici deux autres problèmes qui ont le même but.

Les segments décalés

Tracez deux segments de droite comme suit.

---------------_________________________

---------------------------__________________________

Les segments doivent être parallèles et de même longueur.

Demandez à l’élève si un des segments est plus long que l’autre ou s’ils sont de même longueur. Les élèves non opératoires répondent habituellement que celui qui est en bas est le plus long car il dépasse à droite. Faites remarquer que l’autre segment dépasse à gauche. Vous verrez l’élève changer d’idée. Il croit désormais que le segment du haut est le plus long car il dépasse à gauche. Faites ressortir que celui qui est en bas dépasse à droite.

L’enfant qui ne réagit pas au conflit cognitif changera encore d’idée et il le refera encore et encore sans voir qu’il se contredit. Par contre, celui qui réagit au conflit cognitif dira rapidement que l’un des segments dépasse à droite mais que l’autre dépasse à gauche. Cela le portera à se demander si les deux segments sont égaux.

Les lions qui ne sont pas des animaux

Montrez l’illustration suivante à l’élève.

Demandez : «Y a-t-il plus de lions ou plus d’animaux?» L’élève non opératoire répondra qu’il y a plus de lions en considérant qu’il y a trois lions et deux animaux (ânes). Demandez à l’élève de vous nommer des animaux. Au besoin demandez-lui si les lions sont des animaux. Il devrait le penser. Demandez-lui de vous montrer les lions, ensuite les animaux. S’il ne vous montre que les ânes, demandez-lui de vous montrer les ânes, ensuite les animaux. Demandez-lui combien il y a d’ânes, ensuite, combien il y a d’animaux. Si l’erreur persiste, ici il dira qu’il y a deux ânes et trois animaux. Il est clair alors que, pour ce problème du moins, l’élève ne voit pas la contradiction.

Si l’élève a vu la contradiction dans au moins une des épreuves décrites dans ce numéro de Mathadore et dans le numéro précédent, il perçoit la contradiction. Il faudra désormais le rendre opératoire en lui proposant d’autres activités que le triangle bleu, les segments décalés et les lions qui ne sont pas des animaux.

Par ailleurs, on comprendra aisément que l’élève qui éprouve des difficultés à percevoir que les lions sont à la fois des lions et des animaux, n’est pas prêt à comprendre que le 2 de 25 représente à la fois des dizaines et des unités. Ce n’est donc pas le temps de le faire travailler sur le groupement et la numération.

Que pensez-vous de cette idée de développer la pensée logique au préscolaire sans nécessairement la lier au symbolisme et aux connaissances mathématiques ?

À vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com

Robert Lyons

2009-02-22T21:18:00.000-05:00

Au préscolaire : la non-contradiction (1)

Un des fondements incontournables des mathématiques est la non-contradiction. Cette propriété essentielle est à la base de toutes les preuves, démonstrations, explications et solutions de problèmes mathématiques à tel point que l’incapacité à reconnaître certaines contradictions typiques entre quatre et sept ans peut signaler des apprentissages futurs très limités.

Normalement, le cerveau humain en santé sursaute face à une contradiction et cherche à la résoudre. Or, chez certaines personnes, la contradiction ne dérange pas, elle n’est pas perçue. Il semble que ce problème soit d’ordre neurologique et que les meilleures stratégies pédagogiques et didactiques ne puissent en venir à bout. Heureusement, seulement un individu sur trois cents environ semble en souffrir. Ces individus peuvent être qualifiés correctement d’illogiques. Plusieurs fois cependant on qualifie d’illogiques des élèves dont la logique est peu développée ou des élèves logiques dont la faiblesse est plutôt de nature analogique (Voir Mathadore 301).

Il y a donc lieu de dépister, dès le préscolaire, les enfants qui ne sursautent pas devant des contradictions évidentes. Dans ce but, il faut leur proposer des problèmes qui les conduisent à des solutions contradictoires. En faisant ressortir par la suite ces solutions contradictoires, on observe les réactions de l’élève. S’il passe d’une solution à une autre plus de deux fois sans sembler troublé, il y a lieu de penser que son cerveau accepte la contradiction et, conséquemment, que cet élève sera très limité lors de ses apprentissages en mathématiques surtout. Lorsque ces élèves ne sont pas perçus comme différents, ils conduisent trop d’excellentes enseignantes à douter de leurs capacités pédagogiques, c’est inacceptable. Nous le répétons, la cause du problème est de nature neurologique et même la médecine ne peut y remédier actuellement. Que faire avec ces enfants? D’abord, ajuster nos exigences, ils peuvent apprendre à se débrouiller avec un minimum d’encadrement, cependant, les raisonnements mathématiques, mêmes élémentaires, seront difficiles et, parfois, inaccessibles. Il faudra donc se fier à leur mémoire afin de leur apprendre des trucs, des méthodes, des habitudes qui leur permettront une certaine autonomie dans leur vie quotidienne. Il faudra cependant leur proposer les mêmes démarches que celles qui sont proposées aux autres élèves, une erreur de diagnostic étant toujours possible. Il faut alors être conscient de la haute probabilité d’un échec, tout en espérant la réussite.

Voici une première activité que nous utilisons en vue de dépister ces élèves.

Le triangle bleu

Matériel : Quelques blocs logiques dont au moins deux triangles bleus, un triangle jaune, un triangle rouge, un carré bleu, un carré rouge et quelques cercles.

Remettez les blocs à l’élève. Tendez vos mains espacées vers lui et dites-lui qu’il doit placer les triangles dans votre main droite et les blocs bleus dans l’autre main. Assurez-vous qu’il comprend bien cette consigne et qu’il sait où placer les blocs bleus et les triangles.

Les seuls blocs qui posent un problème sont les triangles bleus. Si l’élève perçoit le problème, il vous demandera quoi faire avec ces pièces, il réagit à la contradiction, il fonctionne logiquement Chez l’enfant de quatre à sept ans, il arrive souvent qu’il ne perçoive pas la contradiction lorsqu’il place un triangle bleu. S’il le place dans la main des «bleus», demandez-lui pourquoi. Il dira que c’est dans cette main qu’il faut placer les bleus. Demandez-lui de quelle forme est ce bloc. Il dira que c’est un triangle. Rappelez-lui alors que les triangles vont dans l’autre main. Il peut alors percevoir la contradiction. Si ce n’est pas le cas, il placera le bloc dans l’autre main.

Demandez-lui alors pourquoi il a placé ce bloc dans cette main, il dira que c’est un triangle. Demandez-lui quelle est la couleur de ce bloc. Il dira qu’il est bleu. Rappelez-lui que les bleus vont dans l’autre main. Certains élèves perçoivent alors la contradiction en mentionnant que ce bloc devrait aller dans les deux mains ou encore en voulant l’exclure de la classification, ce que vous refuserez.

Si l’élève change le bloc de main sans sourciller, recommencez le même manège une troisième et dernière fois. S’il ne perçoit pas la contradiction, cela augure mal. Dans ce cas, il faut lui administrer encore une ou deux autres épreuves portant sur des sujets différents afin de vérifier votre diagnostic. Nous en verrons d’autres la semaine prochaine.

Ce que nous venons de vérifier n’est pas le développement logique de l’élève mais sa capacité à agir logiquement. Il est possible qu’un élève logique éprouve du retard dans le développement de sa logique, mais s’il réagit à la contradiction, ce retard peut être comblé rapidement. En fait, ce retard résulte habituellement d’un manque de stimulations au moyen de certains types de problèmes. Le problème du triangle bleu est un de ces problèmes.

Si les stades de Piaget vous sont familiers, vous remarquerez que ces élèves atteignent ces stades vers la fin de la période pendant laquelle ils doivent y accéder. Présenter aux élèves du préscolaire des activités qui vérifient et développent leur pensée logique leur permet de développer un outil d’apprentissage essentiel. De façon imagée, on se préoccupe de vérifier d’abord si l’élève possède un bon coffre d’outils (réagit-il face à une contradiction), ensuite on développe son habileté à utiliser ses outils (progression dans les stades du développement de la logique). Plus tard, on se préoccupera des œuvres qu’il construira avec ses outils (concepts, habiletés et connaissances mathématiques).

À mon avis, au préscolaire nous devons nous préoccuper du «coffre d’outils» et de l’habileté à s’en servir, c’est dans ce sens que je proposais de développer la pensée analogique il y a quelques semaines et c’est aussi pour cette raison que je propose cette semaine de se préoccuper du fonctionnement logique de l’élève. Certes, une telle orientation conduit à des résultats moins spectaculaires que d’enseigner le dénombrement, le groupement ou encore l’addition et la soustraction sur de petits nombres, mais cela permet de s’assurer que l’élève a développé suffisamment certains outils d’apprentissage et a acquis certaines perceptions qui l’assisteront tout au long de sa scolarité en mathématiques. Ce qui avantage vraiment certains élèves est qu’ils perçoivent différemment des autres leur travail en apprentissage mathématique.

Robert Lyons

2009-02-15T17:54:00.001-05:00

Au préscolaire : le groupe analogique (2)

Ce qui me semble le plus important à développer au préscolaire est constitué par un groupe de manifestations qui nécessitent que l’ensemble d’une situation soit prise en compte. Il s’agit d’habiletés complexes telles la créativité, l’esprit de synthèse, l’autonomie, l’humour, la compréhension. Ces habiletés vont au-delà de ce qui est directement perçu, elles interprètent, elles «colorent» l’environnement. Ce qui en ressort est souvent surprenant.

Au préscolaire, nous devrions donc faire vivre aux élèves des activités semblables aux suivantes.

1. Jeux de rôles

L’élève joue à faire comme s’il était :

a) un animal;
b) une personne qu’il connait… voilà une excellente façon d’apprendre comment ils nous perçoivent, une façon de mieux nous connaître… si vous osez;
c) une plante;
d) un objet : un ballon, une porte, un instrument de musique, une automobile…;
e) le conducteur d’une automobile, un danseur, un joueur de flûte, un sportif, une personne qui fait du ménage ou un repas…;
f) une personne triste, joyeuse, fatiguée, une personne qui a peur…;

2. Que faire si…

a) la baignoire déborde;
b) tu veux entrer chez toi et les portes sont verrouillées;
c) il y a un gros orage;
d) ça sent le feu chez toi;
e) tu as de la peine;
f) tu as un jouet qui ne fonctionne plus.

3. Que pourrais-tu faire avec :

a) une vieille chaussure;
b) un petit coffret de bois;
c) une assiette en aluminium;
d) un bout de corde;
e) de la pâte à modeler;
f) des rubans de plusieurs couleurs.

4. À quoi te fait penser :

a) la couleur verte (blanche, bleue…);
b) un triangle;
c) un son aigu (grave);
d) une rivière (un lac, une montagne);
e) une boîte;
f) une marionnette;
g) un instrument de musique;
h) un gâteau.

5. Que veut-on dire par :

a) la tête (ou le pied) d’un arbre;
b) le cœur de la forêt;
c) une colère noire;
d) une idée brillante;
e) une peur bleue;
f) une tête dure;

6. Que se passerait-il :

a) s’il n’y avait plus d’arbres;
b) si rien n’était transparent (n’oubliez pas l’air…);
c) si l’eau ne gelait plus;
d) si nous étions tous pareils.

7. Et aussi :

- Racontez le début d’une histoire aux élèves et demandez-leur d’imaginer la suite.
- Demandez-leur de modifier une histoire connue (Que serait-il arrivé si les trois petits cochons s’étaient abrités dans une tente?).
- Montrez-leur une partie de la photo d’un objet et demandez-leur d’identifier l’objet.
- Demandez-leur d’inventer une histoire dans laquelle figureraient tel personnage connu, un pot de fleur et une bicyclette.
- Demandez-leur d’imaginer ce que serait leur vie sans l’électricité.
- Lorsqu’ils vous questionnent, au lieu de donner une réponse valable, donnez-leur un choix de réponses, quelques-unes étant plausibles d’autres absurdes.
- Jouez-leur des tours afin qu’ils se questionnent avant de vous suivre aveuglément.
- Montrez-leur des illustrations où figurent des illusions d’optique et demandez-leur d’en discuter. Par exemple, les rails de chemin de fer semblent se rapprocher à l’horizon, est-ce possible.

Bref, permettez-leur de «voir» et de penser au-delà des apparences. En résolution de problèmes, en compréhension de textes, la connaissance des données du texte et des questions à résoudre ne suffit pas, il faut imaginer l’ensemble dans lequel ces données jouent un rôle.

Que pensez-vous de prioriser le développement des facultés analogiques au préscolaire ?

À vous !

Robert Lyons

2009-02-08T19:51:00.000-05:00

Vers un programme pour le préscolaire

Depuis que les enfants de cinq ans fréquentent l’école à temps plein, la tendance à débuter, dès le préscolaire, les apprentissages amorcés autrefois en première année, s’est généralisée.

Pendant les années soixante-dix, proposer le début «précoce» de ces apprentissages était presque considéré comme scandaleux, empêchant les élèves de cinq ans «de vivre leur vie d’enfant». Pour une raison inconnue, à six ans, lorsque l’élève amorçait sa première année, il était alors accepté et nécessaire de mettre fin à cette «vie d’enfant».

Par ailleurs, les garderies et les maternelles quatre ans se sont multipliées et, dans ces établissements, les activités courantes des classes préscolaires publiques ont été de plus en plus exploitées. Ceci, en plus de la transformation de classes préscolaires à mi-temps en classes à temps plein, a placé ces classes devant un vide en ce qui concerne les activités de type mathématique. Il en est résulté de nouvelles activités qui ne devaient ni répéter ce que les élèves de cinq ans avaient vu ni empiéter sur le programme de première année. Ces activités ne me semblent pas toujours adéquates.

En ce sens, une activité très répandue au préscolaire s’appelle le jeu des cent jours. En gros, on tente d’apprendre aux élèves à compter et à dénombrer jusqu’à cent en utilisant le groupement par dix tel que ce qui sera enseigné en première année. Malheureusement, il s’agit d’un des pires choix possibles. Voyons cela de plus près.

Chaque jour, les élèves placent un bâtonnet, qui représente un jour, à un endroit prévu à cet effet. Jusque là, aucun problème, mais la suite, laquelle varie certainement d’une classe à une autre, peut représenter certains risques de problèmes d’apprentissages éventuels. Il faut bien comprendre que, selon l’utilisation de l’activité, les risques peuvent être ou non présents.

Premier risque – le groupement

Lorsque, après dix jours, les élèves attachent des bâtonnets afin de former leur première dizaine, ils posent un geste qui n’a aucune pertinence. En fait, le groupement sert à mettre de l’ordre lors du dénombrement de quantités suffisamment grandes pour qu’une erreur puisse subvenir et lorsqu’il est plus rapide de faire des regroupements et de dénombrer ensuite plutôt que de simplement recommencer le dénombrement. D’après nos recherches, enfants comme adultes ressentent le besoin de regrouper lorsque les éléments à dénombrer sont d’au moins trente à soixante. Cela signifie que le groupement, lorsque seulement une dizaine d’éléments sont présents, doit être habituellement imposé et sa pertinence n’est pas perçue par l’élève. Le risque ? Qu’il considère que les mathématiques sont souvent constituées d’actions difficiles à justifier et qu’il faille souvent attendre que des consignes lui soient données.

Deuxième risque – la numération écrite

L’activité des cent jours utilise habituellement un tableau où figurent les nombres de 1 à 100. Or, derrière ces nombres se cachent des concepts souvent inconnus de l’élève de cinq ans. Prenons les nombres vingt-quatre (24) et quatre-vingts (80), les deux mêmes mots forment deux expressions qui désignent des quantités différentes. Dans un cas, vingt est additionné à quatre alors que dans l’autre ces nombres sont multipliés. Cette distinction, ainsi que le sens de l’addition et de la multiplication, doivent être connus afin d’interpréter correctement la numération orale. Il faudrait s’en assurer avant d’aller trop loin en ce domaine.

Par ailleurs, en numération écrite la valeur de position implique une multiplication de sorte que les deux chiffres 3 de 33 ne représentent pas le même nombre d’éléments. Une interprétation correcte d’un nombre à deux chiffres suppose que l’élève a compris ce qui se cache derrière la valeur de position. Est-ce le cas lorsque les élèves apprennent à reconnaître les nombres sur un tableau de numération pendant l’activité des cent jours ? Le risque ? Que la mémoire remplace la compréhension et le raisonnement lors de cette activité. Que cela conduise à percevoir qu’en mathématiques la mémoire occupe un rôle beaucoup trop important.

En conclusion, la numération positionnelle est apparue il y a environ quinze siècles et elle était l’aboutissement du développement de nombreux concepts mathématiques pendant quelques millénaires. Ajoutons qu’en France, entre autres, il y a à peine cinq siècles, ce sont les chiffres romains qui étaient utilisés et non le système de numération que nous connaissons.

Ainsi, l’activité des cent jours devrait être précédée de plusieurs activités qui développent des concepts figurant dans le programme du premier cycle. Il y a lieu de se demander si sa place n’est pas en première année plutôt qu’au préscolaire.

À vous !

Robert Lyons

2009-02-01T20:35:00.004-05:00

Les quantités (2)

La séquence habituelle d’apprentissages scolaires est telle que, dès l’âge de six ans, l’élève doit résoudre des équations telle 3 + ___ = 5. Malgré ses succès, il devra attendre d’avoir douze ans avant de se mesurer à 3 + x = 5. Il est étonnant de voir cette nouvelle forme, du même problème, causer des difficultés à des élèves pour qui la forme apprise à six ans ne cause aucun problème. En fait, deux raisons semblent expliquer cela. La première est qu’ils ont entendu certains adultes parler de l’algèbre comme s’il s’agissait d’un domaine où l’échec était normal. La seconde est le temps mis entre l’apprentissage de la première représentation et celui de la seconde, soit six années. Certains élèves ne peuvent comprendre que nous ayons espacé de six années l’apprentissage de représentations fort semblables de la même chose. Ils en concluent que ces deux représentations ne peuvent s’associer tout en ne voyant pas comment le x de 3 + x = 5 peut représenter autre chose que le nombre 2.

Prenons une illustration simple dont nous allons quantifier l’aire.

Si nous décidons que le petit carré est l’unité, cette illustration représente le nombre 425 puisque le rectangle est équivalent à dix petits carrés et le grand carré, à cent petits carrés. Par ailleurs, si nous décidons que c’est le grand carré qui est l’unité, nous avons le nombre 4,25. Ou encore 42,5 si le rectangle non carré représente l’unité. Tant que la décision n’est pas prise nous pouvons tout simplement écrire 4x + 2y + 5z. Mais, puisque ces formes sont construites au moyen de deux longueurs différentes seulement, nous pouvons nommer ces longueurs x, pour la plus longue et y, pour la plus petite. Dans ce cas, 4x² + 2xy + 5y² représente la quantité illustrée.

Évidemment, si l’unité de quantification est la suivante :

alors la figure originale représente la moitié de cette unité et sa valeur numérique est ½. Mais cette valeur serait ¼ si l’unité de quantification possédait une étendue équivalente à dix-sept grands carrés. Mathématiques = créativité!

Bref, les mêmes quantités physiques peuvent être représentées par des entiers, des fractions ou des nombres algébriques. Ne vaudrait-il pas mieux alors de développer le sens des nombres et des opérations à partir de matériel concret et d’étudier ensuite les divers systèmes symboliques qui les représentent ?

Quelles différences y a-t-il entre :

- 3 dizaines + 4 dizaines = 7 dizaines ;
- 3 quarts + 4 quarts = 7 quarts ;
- 3x + 4x = 7x ?

La seule différence se situe dans la représentation symbolique.

Alors, ce que je propose est que l’apprentissage soit d’abord construit à partir de représentations concrètes de quantités, les réglettes Cuisenaire ou les tuiles algébriques par exemples. Ensuite, que les élèves apprennent à nommer en même temps ces quantités au moyen de différents systèmes symboliques : nombres entiers, fractions, nombres algébriques.

Cela signifie qu’en première année, l’élève apprendrait à résoudre aussi bien 3 + ___ = 5 que 3 + x = 5, et à additionner 3 + 5 = ___ comme 3a + 5a = ___. Que vers l’âge de neuf ou dix ans, il apprendrait que 156 ÷ 13 = 12 tout comme (1 c + 5 d + 6 u) ÷ (1 d + 3 u) = 1 d + 2 u ou encore que (1x² + 5xy + 6y²) ÷ (1x + 3y) = 1x + 2y. Ayant expérimenté cela avec de nombreux élèves, même avec des élèves dits «en difficulté», je peux vous assurer que cela ne pose aucun problème sérieux.

Mais, j’y pense, ce serait semblable à ce que vit l’enfant de sa naissance à l’âge de douze mois environ, il apprend à connaître son environnement sans pouvoir en parler. Ou encore ce que vivent ces enfants de deux ou trois ans qui apprennent en parallèle deux ou trois langues. Chaque nouveau mot, qu’elle qu’en soit la langue, est d’abord associé à un objet, à une action. Ces enfants ne traduisent pas ces nouveaux mots dans une autre langue, ils apprennent à nommer directement chaque action ou chaque objet dans chaque langue.

En fait, ce que je propose est de développer d’abord des concepts et de les nommer par la suite avec, s’il y a lieu, les divers systèmes symboliques des mathématiques au lieu de tenter de développer des concepts à partir de leurs représentations symboliques. Avec le système actuel, on enseigne trop souvent aux élèves «à parler et à écrire» sans qu’ils sachent de quoi il est question. C’est cette incapacité d’associer le symbolisme avec la réalité qui les empêche de voir qu’en mathématiques la différence entre ce qui est appris avec plusieurs années d’intervalle ne réside que dans le symbolisme.

À vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com/

Robert Lyons

2009-01-25T20:07:00.000-05:00

Mathadore (Numéro 298)
Les quantités (1)

L’élaboration d’un programme exige évidemment que des décisions soient prises sur les contenus de ce programme. Or, depuis les années soixante de nouvelles sections des mathématiques ont été ajoutées aux programmes traditionnels. C’est le cas de la topologie qui traite des dessins tracés sur des surfaces élastiques. Il y a donc lieu de déterminer les domaines mathématiques à aborder ainsi que l’importance à leur accorder.

S’il est une partie des mathématiques qui figure sans contestation dans les programmes, c’est l’étude de l’aspect quantitatif de notre univers. On distingue deux grands domaines, les quantités discrètes et les quantités continues. Le nombre constitue l’outil qui décrit ces quantités. Une quantité est discrète lorsqu’elle est décrite correctement avec les nombres entiers seulement, par exemple, trois personnes, cinq automobiles… Une quantité est continue lorsque les fractions sont souvent nécessaires afin de la décrire : 3,5 heures, 4 ½ mètres. C’est le domaine de la mesure.

Il me semble important de fusionner tous les éléments de contenus qui sollicitent les mêmes règles mathématiques. Cela simplifie l’enseignement, mais surtout, cela permet à l’élève de mieux comprendre un concept. En effet, l’étude de nombreux aspects du même concept évite des interprétations trop restreintes qui ne sont pas généralisables. De telles interprétations constituent une des causes les plus importantes de difficultés en mathématiques.

Donc, il faudrait que l’étude des quantités ne partage pas l’enseignement du nombre en chapitres sur la mesure et en chapitres sur les quantités discrètes. Prenons l’addition. Pour additionner deux nombres, ils doivent représenter des quantités de même nature et de même ordre. De même nature, c’est-à-dire qu’on ne peut additionner des mètres avec des heures ou des litres avec des grammes. Par ailleurs, lorsqu’il faut additionner des quantités d’ordres différents, il faut d’abord leur trouver une unité commune de quantification. Par exemple, 3 heures + 5 minutes devient 180 minutes + 5 minutes et 3 mètres + 5 centimètres devient 300 cm + 5 cm ou 3 m + 0,05 m. De la même façon, on ne peut additionner 3 dizaines + 5 unités sans considérer que 3 dizaines = 30 unités.

Bref, il me semble que la mesure doit être intégrée aux leçons et chapitres qui étudient les nombres discrets. Cela permettrait d’illustrer les opérations au moyen d’exemples diversifiés et concrets. Cela éviterait aussi l’apprentissage de définitions inadéquates résultant de l’étude de contextes trop restreints. Ainsi, puisqu’en mesure 3 mètres × 2 mètres = 6 mètres carrés, définir la multiplication telle une addition répétée n’a plus de sens. On se rend alors compte que cette définition provient d’une étude limitée à quelques exemples seulement.

Profitons de l’occasion afin de corriger une erreur fréquente dans la rédaction de propositions mathématiques. Voici des additions :

a) 3 mètres + 4 mètres = 7 mètres;
b) 3 heures + 4 heures = 7 heures;
c) 3 dizaines + 4 dizaines = 7 dizaines;
d) 3x + 4x = 7x;
e) 3 pommes + 4 oranges = 7 fruits;
f) 3 pommes + 4 pommes = 7 pommes.

Si les quatre premières additions sont correctes, les deux suivantes sont inadéquates. En fait, chaque fois qu’une addition utilise des unités de quantification (mètres, heures, centaines, cinquièmes, x, …), ces unités ont une grandeur standard et commune. Bref, s’il existe de petites pommes et de grosses pommes, il n’existe pas de petits mètres et de grands mètres, de petites dizaines et de grandes dizaines, chacune ayant obligatoirement dix unités.

Il en résulte que lorsque des unités sont présentes dans une proposition mathématique, elles proviennent de la mesure ou elles sont neutres, telles les dizaines, les centaines, …

Un caprice ? Voyons cela de plus près. Peut-on faire plus de compote avec douze pommes ou avec quinze pommes ? Cela dépend certainement de la grosseur des pommes. Peut-on tailler plus de rubans de vingt centimètres dans un ruban de cent centimètres ou dans un ruban de cent-soixante centimètres ? La réponse ne fait ici aucun doute car l’unité de quantification est constante. Peut-on faire plus de paquets de cinq unités avec trois dizaines ou avec quarante-cinq unités ? La réponse est claire ici aussi.

Alors, êtes-vous favorable à regrouper le plus souvent possible des manifestations des mêmes concepts, quitte à ce que la mesure et le calcul sur les quantités discrètes figurent dans les mêmes chapitres d’un manuel d’apprentissage ?

À vous !

Robert Lyons

2009-01-18T13:12:00.000-05:00

Propos sur les compétences disciplinaires

Afin de cerner l’ensemble des éléments essentiels à considérer lors de la rédaction d’un programme, nous revenons cette semaine sur un sujet abordé en septembre 2007, les compétences disciplinaires. À mon avis, une personne compétente en mathématiques peut répondre aux trois questions suivantes au sujet des mathématiques qu’elle utilise ou connaît :
a) À quoi servent-elles ?
b) Pourquoi fonctionnent-elles ?
c) Comment peut-on les décrire d’une façon simple et efficace ?
De plus, elle manifeste une certaine habilité dans l’usage des techniques mathématiques courantes.

L’utilité des mathématiques.

Connaître les propriétés des opérations, la loi des signes, les unités de mesure, les coordonnées cartésiennes n’a pas beaucoup d’importance lorsque nous sommes incapables de les associer à notre quotidien. Mais attention, cette incapacité à établir des liens entre les mathématiques que nous avons apprises et ce qui nous entoure ne signifie nullement que nous n’utilisons pas ces éléments des mathématiques. En fait, pour plusieurs personnes les mathématiques commencent à exister lorsqu’on fait valser devant elles des chiffres, des équations algébriques, des termes tels algorithmes, cylindre, commutativité… C’est une erreur ! Notre univers, nos actions, nos pensées sont, dans leurs moindres détails, des manifestations des mathématiques. Bref, lorsqu’il s’agit des concepts mathématiques, nous sommes tous mathématiciens.

Cette compétence est associée à la compréhension, à la créativité, à l’esprit de synthèse, à l’autonomie, à l’analogie, entre autres.

Les fondements logiques des mathématiques

Donc, nous utilisons de nombreux éléments des mathématiques quotidiennement sans nécessairement en avoir conscience. Mais, les utilisons-nous correctement ? Avec raison, on dit que les mathématiques sont logiques, ce qui signifie absentes de contradictions. De nombreuses erreurs proviennent d’une utilisation des éléments mathématiques de façon contradictoire.

La seconde compétence touche donc le raisonnement. Elle se manifeste par la construction justifiée de solutions qui utilisent, sans contradictions, les seules données du problème ou des données qui en découlent. Elle se manifeste aussi par la capacité à identifier et à vérifier les liens logiques d’un énoncé ou d’une solution, donc à démontrer, à prouver. Cette seconde compétence répond à la question «Pourquoi?». Elle est associée à l’analyse, la concentration, le souci du détail, la pensée séquentielle, la rigueur.

La communication efficace

Le vocabulaire de tous les jours n’a pas été conçu pour les communications courtes et précises des domaines spécialisés de l’activité humaine. Pour cette raison, les professions et les sports, entre autres, ont développé des compléments linguistiques aux diverses langues courantes. Très souvent ce symbolisme et ces termes spécialisés sont identiques ou se ressemblent d’une langue à une autre.

Au quotidien, notre compétence fondamentale en mathématiques peut se manifester en n’utilisant que peu d’éléments de ce langage spécialisé dont les mathématiques se sont dotées. Il est habituellement facile de se débrouiller avec le langage courant et le contexte de travail pour se faire comprendre. L’ignorance ou la non-utilisation du langage spécialisé des mathématiques, comme du langage spécialisé de telle science ou de tel sport, constitue un handicap lors de l’exercice régulier des mathématiques, des sciences ou des sports.

L’utilisation efficace des instruments mathématiques

Tout comme en communication, une certaine aisance lors de l’utilisation d’instruments de mesure, d’outils de calcul ou encore lors de la fabrication de graphes constitue une compétence dont l’importance varie avec le degré de spécialisation mathématique des activités quotidiennes. Cette compétence est celle qui s’est transformée le plus à travers l’histoire. Ainsi, le calcul s’est d’abord effectué avec des cailloux, appelés calculis, disposés sur des surfaces quelconques. À partir de ces cailloux, les abaques et bouliers ont ensuite été conçus. Les techniques symboliques sont ensuite apparues afin de représenter le travail réalisé avec les cailloux et les bouliers. Puis vint l’ère des machines à calculer, amorcée il y a plusieurs siècles, et qui nous a conduit aux calculatrices, aux caisses enregistreuses et aux ordinateurs.

Dans d’autres domaines, on a vu les instruments d’écriture passer du poinçon à la plume d’oie, ensuite à la plume métallique, au crayon de plomb, aux stylos de toutes sortes, à la machine à écrire et à l’ordinateur. Et l’observation des astres a conduit au cadran solaire, lequel est devenu sablier ou horloge à eau avant d’être remplacé par la montre à aiguilles et la montre digitale.

Pouvons-nous prétendre que nous ne savons pas lire l’heure si nous sommes incapables de la lire en observant la position des étoiles ou du soleil ? Qui est prêt à remplacer ses stylos et son clavier d’ordinateur pour des plumes d’oies et un pot d’encre ? Malgré cela, les algorithmes écrits de calcul sont toujours considérés comme des incontournables.

Est-ce que la personne compétente en mathématiques doit nécessairement pouvoir associer les mathématiques à son quotidien ? Doit-elle aussi pouvoir démontrer la valeur de son travail mathématique ? À quel point doit-elle en maîtriser le langage et les instruments ? Est-ce que la compétence en mathématique se manifeste d’autres façons ?
Comment doser l’importance de chacun des aspects de la compétence en mathématiques ?

À votre tour !

Et excellente année 2009 !

Robert Lyons

Propos sur les algorithmes

2008-12-14T20:18:00.000-05:00

Un algorithme de calcul est une procédure réalisée au moyen de matériel, de dessins ou de symboles dans le but de trouver un résultat à une opération donnée. Derrière chaque algorithme se cache un raisonnement rigoureux tel que chaque étape peut être justifiée en fonction des propriétés des nombres ou des opérations. De plus, de façon analogique, il y a correspondance entre les algorithmes concrets, imagés ou symboliques. La seule différence, c’est le mode de représentation.

Il existe trois grandes catégories d’algorithmes : les algorithmes d’apprentissage, les algorithmes optionnels et les algorithmes courants.

Les algorithmes d’apprentissage

Ils sont conçus afin de s’assurer que chaque étape est justifiée. Ils sont inventés par les élèves ou présentés par les enseignants. Pour un adulte habile en calcul, ils semblent lourds et compliqués pour rien. C’est exact et le même phénomène existe lorsqu’on observe un enfant qui apprend à marcher ou à conduire une bicyclette. Il ne faut pas oublier qu’ils font partie d’un processus sans en être le terminus.

Voici un exemple d’algorithme d’apprentissage pour l’addition.

3 4 5
+ 2 7 8
5 1 3
6 2 3

Chaque trait représente une retenue ou un report. Cet algorithme procède de gauche à droite et permet, vers la fin de l’apprentissage, de trouver directement la réponse 623 sans noter préalablement 513 et les tirets.

Les algorithmes optionnels

Il s’agit de techniques qui rendent l’exécution des algorithmes courants plus simple. Habituellement, ils consistent en une modification des nombres de l’opération et, parfois, en une modification de l’opération elle-même.
Par exemple, au lieu de :

· 397 + 245, on peut effectuer 400 + 242;
· 400 – 238, on peut effectuer 399 – 237;
· 48 x 45, on peut effectuer 24 x 90;
· 696 ÷ 24, on peut effectuer 348 ÷ 12 ou 174 ÷ 6;
· ¾ divisé par ½, on peut multiplier ¾ par 2.

Il existe de nombreux exemples d’algorithmes optionnels, malheureusement ils sont surtout utilisés par les élèves et les adultes qui ont développés une compréhension supérieure des mathématiques. Grâce à cette compréhension supérieure, ces personnes simplifient leur travail en calcul et diminuent les risques d’erreurs, ce qui les avantage encore plus.

Les algorithmes courants

On les appelle aussi algorithmes traditionnels. Ils sont l’aboutissement du travail d’apprentissage. Si, lors de cet apprentissage, aucune étape n’a été omise, non seulement l’élève pourra calculer efficacement mais en plus il pourra justifier chaque étape de son algorithme. Par exemple expliquer pourquoi il change 6 ÷ ½ par 6 x 2.

Les algorithmes traditionnels sont habituellement perçus comme une panacée, des incontournables démontrant, lorsqu’ils sont exécutés adéquatement, que l’élève a compris l’essentiel des mathématiques. Ainsi, le québécois francophones considère sa technique de division des entiers comme la technique de division des entiers. Le québécois anglophones aura la même perception pour sa technique, laquelle est différente de celle des francophones. Pendant ce temps, l’asiatique aura la même opinion de son algorithme de division effectué sur un boulier.

Plus intéressants encore sont les algorithmes courants et, souvent inconscients, utilisés en calcul mental surtout. Vous remettez un billet de vingt dollars afin de régler une facture de 14,78 $. Combien doit-on vous rendre? Calculez-le mentalement avant de poursuivre votre lecture.

Si vous avez une expérience de caissière ou de caissier, il est probable que vous ayez d’abord pensé qu’il faut remettre 22 ¢ afin de compléter le dollar et ensuite cinq dollars puisque 15 $ + 5 $ = 20 $. Mais si vous n’avez jamais occupé un tel poste, vous avez probablement pensé que vous deviez recevoir un peu plus que cinq dollars. Vous avez ensuite calculé les vingt-deux cents restantes. Vous avez calculé de gauche à droite malgré ce que l’école vous a appris.

Si vous visitez www.defimath.ca , sur la page d’accueil, vous trouverez un lien pour notre dossier spécial sur les algorithmes. Quelques algorithmes sont présentés en établissant des liens entre l’algorithme symbolique et l’algorithme concret. On y voit l’algorithme d’apprentissage et son aboutissement, l’algorithme courant. À l’occasion des algorithmes optionnels sont aussi présentés.

Que pensez-vous de l’importance d’associer chaque algorithme symbolique à son correspondant concret ? Que pensez-vous d’initier les élèves aux algorithmes optionnels ? Que pensez-vous d’accorder à l’élève le droit d’utiliser l’algorithme de son choix, ce qui inclut, lorsqu’ils sont efficaces, les algorithmes optionnels? Que pensez-vous de n’exiger le calcul efficace qu’à la fin du processus d’apprentissage, c’est-à-dire après une solide exploration de quelques algorithmes d’apprentissage et de quelques algorithmes optionnels mais surtout après que l’élève soit capable d’associer entre eux algorithmes concrets et algorithmes symboliques, tout en étant capable d’en justifier chaque étape ?

À vous !

Robert Lyons

Simple et généralisable

2008-12-07T16:35:00.002-05:00

Les difficultés les plus nombreuses et les plus tenaces en mathématiques proviennent du fait que certains concepts sont présentés et développés pendant plusieurs mois ou années autour de quelques cas particuliers du concept étudié. C’est ce qui arrive lorsqu’on enseigne aux élèves que 5 – 7 est impossible alors que 7 – 5 est possible; que la multiplication est une addition répétée; que diviser c’est partager ou mesurer; que les exposants représentent une multiplication répétée; qu’un sommet se situe au point de rencontre de deux arêtes…

Les erreurs et difficultés qui découlent de ce qui précède sont les suivantes.

- 35 – 17 = 22, qui est l’erreur la plus fréquente en calcul.

- Incapacité à comprendre :

· que ½ × ½ = ¼ ou que (-3) × (-4) = 12 ;
· que 1 $ ÷1/2 = 2 $ ;
· que 60 = 1
· que le cône a effectivement un sommet (un apex est un sommet remarquable…)

Il me semple qu’il existe deux possibilités afin d’éviter que des aspects particuliers d’un concept deviennent, pour l’élève, le concept lui-même.

Première possibilité : Présenter dès le début au moins un cas de chaque type d’applications du concept.

Deuxième possibilité : Partir d’une schématisation à laquelle toutes les applications du concept puissent être associées.

La première possibilité me semble irréaliste puisqu’il existe trop de types d’applications de certains concepts pour qu’il soit possible de les évoquer de façon exhaustive et d’en tirer une définition générale correcte. D’ailleurs, une définition correcte de la multiplication, par exemple, ressemblerait à «une opération associative, commutative, distributive sur l’addition…» Ouf ! Ce n’est pas avec une définition semblable que le concept de multiplication deviendra accessible.

La seconde possibilité me semble beaucoup plus réaliste. Une sorte de schématisation ou d’image mentale, toujours la même, pour toute la fonction additive, une autre pour toute la fonction multiplicative, une autre pour tous les types d’exposants… Une image mentale pouvant être un dessin ou une disposition particulière à moins que ce ne soit une petite chansonnette ou un ensemble de gestes familiers.

En guise d’exemple, la fonction additive peut toujours être illustrée sur un axe. Le nom de cet axe est le dénominateur commun de l’addition ou de la soustraction à effectuer. Sur l’axe des x, on additionne ou on soustrait des x : 5x – 2x = 3x. Sur l’axe des cinquièmes, on additionne ou on soustrait des cinquièmes.

Par contre, il ne peut y avoir de dénominateur commun en multiplication ou en division : 3 m × 4 m = 12 m2. Cela implique que la fonction multiplicative ne peut être illustrée sur un seul axe. Il en faudra deux et l’on formera un rectangle. Or le rectangle peut illustrer tous les problèmes impliquant la division et la multiplication.

Bref, la fonction multiplicative serait fortement associée au rectangle et, par la suite, toutes ses applications le seraient aussi. De la même façon, la fonction additive serait associée à des déplacements sur un axe.

En guise d’exemples : la multiplication consiste à trouver l’aire d’un rectangle dont les côtés sont connus; en division, il faut trouver un côté alors que l’aire et l’autre côté sont connus; extraire la racine carrée, c’est trouver la longueur du côté d’un carré dont l’aire est connue; factoriser, c’est trouver les côtés possibles d’un rectangle dont l’aire est connue.

Connaissant l’espace parcouru par un mobile en un temps donné, la vitesse de ce mobile correspond au côté d’un rectangle dont l’aire représente l’espace parcouru et la longueur, le temps du déplacement. Il faut donc effectuer une division. En électricité, le voltage est trouvé en multipliant l’ampérage par la résistance. L’aire du rectangle représente donc le voltage et les côtés représentent l’ampérage et la résistance. À l’épicerie, si un demi-kilogramme de viande coûte quatre dollars alors l’aire du rectangle représentera le prix de ce demi-kilogramme, soit quatre dollars, la hauteur représentera le nombre de kilogrammes achetés, ici un demi et la longueur représentera le prix d’un kilogramme, soit huit dollars. On aura donc : 4$ ÷ ½ = 8$ soit le prix payé divisé par le nombre de kilogrammes achetés, ce qui conduit à trouver le prix d’un kilogramme.

À vous!

Robert Lyons

De la complexité (2)

2008-11-30T15:25:00.001-05:00

Afin de comprendre le rôle d’un concept ou d’un quelconque élément d’apprentissage, il faut forcément qu’il soit situé dans un contexte pertinent. Ce contexte sera nécessairement plus large que le concept étudié, donc plus complexe.

Il me semble qu’il y a au moins deux avantages à plonger, au départ, l’élève dans un contexte complexe et ce, indépendamment du fonctionnement du cerveau tel que présenté la semaine dernière.

D’abord lorsque le contexte est pertinent, l’élève peut percevoir l’utilité du concept qu’il tente de développer. De cette perception découle la motivation. En fait, on peut difficilement être motivé à apprendre ou à faire quelque chose dont l’utilité nous est inconnue.

Par ailleurs, le contexte sert d’encadrement à tout le processus de résolution de problèmes et permet souvent à l’élève de cheminer avec très peu d’aide dans l’élaboration et la validation de sa démarche.

En lisant vos réflexions sur le blogue, je me suis rappelé du cheminement de ma fille lorsque je lui ai enseigné à lire. Elle n’avait que dix mois lorsque je lui ai montré une affiche où figurait le mot « maman » et une autre où on pouvait lire « papa ». En peu de temps, elle distinguait ces mots sans erreurs. Ensuite j’ai ajouté son prénom, celui de son petit voisin et diverses parties du corps. Chaque mot figurait alors sur une petite fiche de 8 cm sur 13 cm.

Elle avait dix-huit mois lorsque survint la première neige du nouvel hiver. Comme tous les enfants, elle était fascinée. Je lui ai demandé si elle voulait que j’écrive le mot « neige » ? Elle m’a regardé en disant « neige ? » et son étonnement était important. Elle a regardé longuement ce mot. En détournant son regard, celui-ci est tombé sur une chaise. Elle m’a regardé en disant « chaise ? » J’ai écrit ce mot. Elle venait de comprendre qu’il était possible d’écrire des mots qui désignaient autre chose que des personnes ou des parties du corps. Tous les mots appris à ce moment faisaient partie de ces catégories de mots. Quelques jours plus tard, elle me dit « la chaise ? » Visiblement elle venait de comprendre que l’on pouvait écrire tout ce que l’on disait.

J’ai aussi observé avec elle et, avec sa fille, que je soumets au même régime, que toutes deux sont passées rapidement à l’observation des lettres. Ainsi, elles ont dit « C’est la lettre de maman » pour le m. Par la suite, en voyant cette lettre dans un mot quelconque, elles s’exclamaient « Maman ! ». Mais elles ont vite changé pour « C’est la lettre à maman ! »

Ma petite-fille aime bien, malgré ses deux ans et sept mois, dire qu’elle est grande et faire comme les grands. Souvent, lorsque je travaille à l’ordinateur, elle se glisse sur mes genoux et me dit « Quelle lettre ? » Il y a quelques semaines, comme elle voulait m’imiter, j’ai eu l’idée de lui tenir un doigt de chaque main et de lui faire taper mon texte. Depuis ce temps, cela semble être devenu un de ses jeux préférés. Mais, elle est du genre « Je suis capable TOUTE seule » et, depuis deux jours, elle ne veut plus que je lui tienne les doigts. Elle me demande « Quelle lettre ? » Je lui réponds : « Le A de Aube-Marie », c’est son nom, « le R de Robert », « le D de Dany ». Nous avons eu un court problème avec le A, lorsqu’elle en a trouvé quatre sur le clavier.

Hum ! Je voulais écrire sur quelque chose de complètement différent au début de cette lettre. Je me suis égaré. Tant pis ! Les conclusions que je tire de ces expériences en lecture, bon, c’est reparti, c’est que les enfants sont facilement motivés à apprendre la lecture lorsque les premiers caractères écrits sur lesquels on attire leur attention sont associables à des choses ou à des personnes qu’ils connaissent. Cependant, ils remarquent davantage la première lettre du mot, parfois la dernière, et n’observent les autres lettres que lorsqu’ils sont confrontés à des mots qui se ressemblent tels pomme, porte, poire.

D’ailleurs, j’ai remarqué que ma fille et ma petite-fille se sont intéressées beaucoup plus tard à lire les chiffres. Même s’ils ont appris tôt des comptines avec des nombres, il semble que les noms des nombres sont beaucoup moins porteurs de sens, avant trois ou quatre ans, que des mots tels maman, pied, orange, crayon.

Alors, est-ce possible de motiver un enfant à apprendre sans un contexte plus complexe que le simple concept que nous voulons développer ? Un enfant n’a-t-il pas davantage l’occasion de développer sa pensée et ses stratégies d’apprentissage lorsqu’il est plongé dans un contexte qu’il comprend et qui lui pose un problème qu’il ressent ? Chaque pas vers une solution n’est-il pas guidé et encadré par ce contexte ? Et, en mathématiques, ne devons-nous pas choisir comme contexte de départ ce qui a guidé nos ancêtres à élaborer les concepts et outils des mathématiques ? Allons plus loin, les programmes de mathématiques, même ceux qui s’adressent aux plus jeunes de nos élèves, ne devraient-ils pas faire une place importante à l’histoire des mathématiques ?

À vous maintenant.

Et, un gros merci aux auteurs de chacun des commentaires émis jusqu’à présent.

Robert Lyons

2008-11-23T20:17:00.000-05:00

Mathadore (Numéro 293)
L’hebdomadaire gratuit portant sur l’enseignement des mathématiques

Sur la complexité (1)

L’apprentissage se déroule-t-il du simple au complexe ou, inversement, consiste-t-il à simplifier le complexe ?

J’ai eu le plaisir de montrer à marcher à mes enfants et à leurs enfants. Il faut voir leur concentration à ce moment. D’un à l’autre, il y a des différences, mais, dans chaque cas, il est clair que ce qui était d’abord extrêmement complexe est devenu rapidement une action d’une grande simplicité.

Rappelez-vous votre première heure au volant d’une automobile. Simple ou complexe ? Et maintenant ?

Voici, à gauche, une illustration du travail du cerveau d’un jeune adulte à sa première heure de jeu avec Tetrix. Et, à droite, l’aspect de son cerveau après plusieurs semaines d’entraînement. Cet entraînement lui a permis de réussir sept fois plus de lignes qu’à son premier essai et pourtant son cerveau travaille moins. L’échelle de couleur, indique que le blanc couvre les régions qui travaillent le plus alors que le noir indique celles qui sont inactives. Entre les deux, progressivement : rouge, jaune, vert, bleu,…

Il est clair que l’apprentissage réduit l’activité du cerveau. D’après Richard Haier, du centre d’imagerie cérébrale de l’université de Californie, à qui nous devons ces illustrations, chez les personnes reconnues très intelligentes, l’activité du cerveau est réduite plus rapidement. De plus, les personnes souffrant de déficiences intellectuelles ne réussissent jamais à réduire de façon importante l’activité de leur cerveau. Pour elles, leur vie ressemble à notre première heure de conduite d’une automobile. Épuisant !

Voici, à droite, l’illustration du cerveau d’une personne normale lorsque son cerveau est le moins actif. À gauche, celui d’une personne déficiente dans un moment comparable.

D’après l’illustration, il semble clair que l’apprentissage réduit l’activité du cerveau en remplaçant d’importants efforts de compréhension et de concentration par des automatismes. Si nous entendons par complexe ce qui provoque le plus d’activités au cerveau, l’observation directe du travail du cerveau montre qu’apprendre c’est simplifier le complexe. Il est difficile de contredire les observations objectives de la radiographie du cerveau, il semble que nous devons simplement en prendre acte.

Mais, si comprendre est plus complexe que reproduire ou même qu’exécuter fort efficacement, si notre cerveau, de façon naturelle et… automatique, travaille du complexe vers le simple, qu’en est-il lorsque nous essayons de le forcer à passer du simple au complexe ?

Savoir que, pour diviser un nombre par une fraction, il faut multiplier ce nombre par la fraction inversée et effectuer des divisions semblables n’est pas très complexe. Démontrer pourquoi diviser par deux tiers conduit au même résultat que multiplier par trois demies me semble plus complexe. Il me semble que c’est encore plus complexe de trouver des applications de la division d’un nombre par deux tiers. Quand, par exemple, la division de six mètres par deux tiers, dont le résultat est neuf mètres est-elle utile ? Combien faut-il effectuer de divisions de fractions afin de pouvoir démontrer, par exemple, que diviser par un tiers est équivalent à multiplier par trois ? Combien faut-il en faire pour en comprendre l’utilité ? Si un adulte, qui peut diviser depuis des années, n’a parfois besoin que d’un léger rappel pour diviser des fractions correctement, lui est-il aussi simple de démontrer la valeur de sa technique et son utilité ? Si notre cerveau fonctionne du simple au complexe, pourquoi n’y parvenons-nous pas ?

Chers lecteurs, à vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com/

Robert Lyons

NOTE : Bien que j’apprécie recevoir vos commentaires par courriel, je vous encourage à les placer sur le blogue car la discussion sera beaucoup plus intéressante et plus enrichissante si chacun d’entre vous peut intervenir. Si nous voulons construire un programme ensemble, il ne faut pas exclure de lecteurs de discussions qui ne se dérouleraient autrement qu’entre vous et moi.

2008-11-15T18:57:00.000-05:00

Mathadore (Numéro 292)
La séquence : premier questionnement

La rédaction d’un programme exige toujours que l’on établisse une séquence d’apprentissages. Or cette séquence peut dépendre de diverses perceptions ou conceptions. Une des premières consiste à établir si l’apprentissage doit être réalisé; du particulier au général ou inversement, du général au particulier. Attention de ne pas confondre particulier et général avec simple et complexe sur lesquels nous reviendrons la semaine prochaine.

Entendons-nous donc sur ce qui suit afin de pouvoir en discuter : L’ours, le tigre sont des cas particuliers alors que l’animal est le cas général.

Il me semble évident que c’est au travers de l’observation de cas particuliers, une rose, une tulipe, un œillet, que nous réussissons à déterminer le cas général, la fleur. Lorsqu’il apprend à parler, le jeune enfant remarque rapidement les mots et les classe en tentant de déterminer une espèce de schéma général qui lui indique, par exemple, la position des mots dans une phrase ou la position d’un type de mots par rapport aux mots d’un autre type. Ainsi, les enfants observent qu’un article n’est pas suivi d’un verbe sans, évidemment, pouvoir dire que le mot « un » est un article ou que le mot « finir » est un verbe.

Suite à l’observation de nombreuses phrases, les enfants construisent une sorte de cadre général dans lequel ils peuvent positionner les mots d’une phrase. Ce cadre sera amélioré et rendu plus complexe avec l’âge, mais il ne sera jamais nécessaire de le remettre totalement en question. Ainsi, le jeune enfant remarque tôt que lorsque deux verbes se suivent, le second est à l’infinitif. Il remarque aussitôt qu’à l’infinitif, les verbes se terminent généralement par « er » et « ir ». Cela le pousse à dire : « Il va pleuer ! » ou « Il va pleuir !» au lieu de « Il va pleuvoir ! ». L’ajustement peut prendre plusieurs mois, souvent plusieurs années. J’entendais récemment un adulte dire « Ils jousent. » au lieu de « Ils jouent. » Mais il s’agit d’ajustements mineurs qui placent rarement, sinon jamais, une personne dans une situation où elle remet en doute sa compréhension de base.

Bref, l’apprentissage d’une langue, d’une science, d’un sport, progressent plutôt bien du particulier au général puisque les premiers apprentissages en ces domaines sont suffisamment adéquats pour ne devoir subir plus tard que des ajustements mineurs ne contredisant pas la majeure partie de la structure générale qui a été érigée au départ.

Qu’en est-il en mathématiques ? D’abord, l’enfant apprend à compter. Il s’agit alors davantage d’une comptine que d’un réel dénombrement. Ce sont des mots que l’on tente de réciter dans un certain ordre lorsqu’on entend la question « Combien… ? » Éventuellement l’ordre correct sera appris, ceci n’est qu’un ajustement. Un premier changement d’importance sera de comprendre que chaque mot doit être associé à un élément et à un seul élément d’un ensemble. Il faudra comprendre, un peu plus tard que le dernier mot dit indique le nombre d’éléments de l’ensemble. Il faudra aussi comprendre que l’ordre dans lequel les objets ont été dénombrés n’a aucune importance sur la quantité totale. Mais, parallèlement, il faudra apprendre que le nombre peut indiquer un rang et, cette fois, l’ordre des éléments doit être respecté et maintenu. C’est une nuance importante.

Ces premiers apprentissages touchent ce que nous appelons les quantités discrètes, soit les quantités dénombrables au moyen des nombres entiers seulement : une balle, deux balles, … Donc un univers dans lequel, après un, c’est deux et après deux, c’est trois.

Et puis, un jour, après un, ce n’est plus deux, mais un et une demie ou peut-être un et un quart, à moins que ce soit un et un dixième. Et ce qui était perçu comme un vide, soit l’inexistence de quelque chose entre un et deux, devient un univers contenant une infinité d’éléments. Ce n’est pas un ajustement, c’est un bouleversement.

Plus tard apparaîtront les nombres négatifs, lesquels sont souvent mal compris par de nombreux adultes : « Moins que zéro, c’est rien ! » Il faut vivre au Québec pour comprendre que « moins trente degrés Celsius » ce n’est pas rien, mais « toute une histoire » comme dit ma petite-fille.

Et un jour le nombre devient irrationnel quelque chose qui ne désigne ni un rang, ni une quantité d’objet, ni une position précise sur un axe, mais une position indéterminable entre deux points précis.

Finalement, le nombre imaginaire apparaît à l’intérieur de nombres que l’on dit complexes. Si la somme de deux nombres est 10 et leur produit est 21 alors ces deux nombres sont 3 et 7, des connaissances de longue date. Mais si la somme de deux nombres est 10 et que leur produit est 26 alors nous nous retrouvons avec deux nombres complexes, les nombres 5 + i et 5 – i.

À travers tout cela, qu’est-ce qu’un nombre ? Est-il possible de construire le concept de nombre en passant du particulier au général ? Les premières constructions que nous élaborons du concept de nombre nous aident-elles à comprendre la suite ? Peut-on travailler différemment ?

Voilà chers lecteurs de Mathadore, la première réflexion que je vous propose dans le but de relever notre grand défi : élaborer un programme de mathématiques pour les besoins du 21e siècle.

J’espère que vous serez nombreux à réagir plus bas.
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Je profite de l’occasion afin de vous remercier des nombreux courriels d’encouragements que vous m’avez expédiés au sujet de ce grand défi. N’oubliez pas que les discussions qui se tiendront sur ce blogue seront des plus enrichissantes si elles proviennent de personnes qui bénéficient de formations différentes, de cultures différentes, qui pratiquent diverses professions et qui ont à cœur de voir l’enseignement des mathématiques s’améliorer.

Robert Lyons