Un algorithme de calcul est une procédure réalisée au moyen de matériel, de dessins ou de symboles dans le but de trouver un résultat à une opération donnée. Derrière chaque algorithme se cache un raisonnement rigoureux tel que chaque étape peut être justifiée en fonction des propriétés des nombres ou des opérations. De plus, de façon analogique, il y a correspondance entre les algorithmes concrets, imagés ou symboliques. La seule différence, c’est le mode de représentation.
Il existe trois grandes catégories d’algorithmes : les algorithmes d’apprentissage, les algorithmes optionnels et les algorithmes courants.
Les algorithmes d’apprentissage
Ils sont conçus afin de s’assurer que chaque étape est justifiée. Ils sont inventés par les élèves ou présentés par les enseignants. Pour un adulte habile en calcul, ils semblent lourds et compliqués pour rien. C’est exact et le même phénomène existe lorsqu’on observe un enfant qui apprend à marcher ou à conduire une bicyclette. Il ne faut pas oublier qu’ils font partie d’un processus sans en être le terminus.
Voici un exemple d’algorithme d’apprentissage pour l’addition.
3 4 5
+ 2 7 8
5 1 3
6 2 3
Chaque trait représente une retenue ou un report. Cet algorithme procède de gauche à droite et permet, vers la fin de l’apprentissage, de trouver directement la réponse 623 sans noter préalablement 513 et les tirets.
Les algorithmes optionnels
Il s’agit de techniques qui rendent l’exécution des algorithmes courants plus simple. Habituellement, ils consistent en une modification des nombres de l’opération et, parfois, en une modification de l’opération elle-même.
Par exemple, au lieu de :
· 397 + 245, on peut effectuer 400 + 242;
· 400 – 238, on peut effectuer 399 – 237;
· 48 x 45, on peut effectuer 24 x 90;
· 696 ÷ 24, on peut effectuer 348 ÷ 12 ou 174 ÷ 6;
· ¾ divisé par ½, on peut multiplier ¾ par 2.
Il existe de nombreux exemples d’algorithmes optionnels, malheureusement ils sont surtout utilisés par les élèves et les adultes qui ont développés une compréhension supérieure des mathématiques. Grâce à cette compréhension supérieure, ces personnes simplifient leur travail en calcul et diminuent les risques d’erreurs, ce qui les avantage encore plus.
Les algorithmes courants
On les appelle aussi algorithmes traditionnels. Ils sont l’aboutissement du travail d’apprentissage. Si, lors de cet apprentissage, aucune étape n’a été omise, non seulement l’élève pourra calculer efficacement mais en plus il pourra justifier chaque étape de son algorithme. Par exemple expliquer pourquoi il change 6 ÷ ½ par 6 x 2.
Les algorithmes traditionnels sont habituellement perçus comme une panacée, des incontournables démontrant, lorsqu’ils sont exécutés adéquatement, que l’élève a compris l’essentiel des mathématiques. Ainsi, le québécois francophones considère sa technique de division des entiers comme la technique de division des entiers. Le québécois anglophones aura la même perception pour sa technique, laquelle est différente de celle des francophones. Pendant ce temps, l’asiatique aura la même opinion de son algorithme de division effectué sur un boulier.
Plus intéressants encore sont les algorithmes courants et, souvent inconscients, utilisés en calcul mental surtout. Vous remettez un billet de vingt dollars afin de régler une facture de 14,78 $. Combien doit-on vous rendre? Calculez-le mentalement avant de poursuivre votre lecture.
Si vous avez une expérience de caissière ou de caissier, il est probable que vous ayez d’abord pensé qu’il faut remettre 22 ¢ afin de compléter le dollar et ensuite cinq dollars puisque 15 $ + 5 $ = 20 $. Mais si vous n’avez jamais occupé un tel poste, vous avez probablement pensé que vous deviez recevoir un peu plus que cinq dollars. Vous avez ensuite calculé les vingt-deux cents restantes. Vous avez calculé de gauche à droite malgré ce que l’école vous a appris.
Si vous visitez www.defimath.ca , sur la page d’accueil, vous trouverez un lien pour notre dossier spécial sur les algorithmes. Quelques algorithmes sont présentés en établissant des liens entre l’algorithme symbolique et l’algorithme concret. On y voit l’algorithme d’apprentissage et son aboutissement, l’algorithme courant. À l’occasion des algorithmes optionnels sont aussi présentés.
Que pensez-vous de l’importance d’associer chaque algorithme symbolique à son correspondant concret ? Que pensez-vous d’initier les élèves aux algorithmes optionnels ? Que pensez-vous d’accorder à l’élève le droit d’utiliser l’algorithme de son choix, ce qui inclut, lorsqu’ils sont efficaces, les algorithmes optionnels? Que pensez-vous de n’exiger le calcul efficace qu’à la fin du processus d’apprentissage, c’est-à-dire après une solide exploration de quelques algorithmes d’apprentissage et de quelques algorithmes optionnels mais surtout après que l’élève soit capable d’associer entre eux algorithmes concrets et algorithmes symboliques, tout en étant capable d’en justifier chaque étape ?
À vous !
Robert Lyons
dimanche 14 décembre 2008
dimanche 7 décembre 2008
Simple et généralisable
Les difficultés les plus nombreuses et les plus tenaces en mathématiques proviennent du fait que certains concepts sont présentés et développés pendant plusieurs mois ou années autour de quelques cas particuliers du concept étudié. C’est ce qui arrive lorsqu’on enseigne aux élèves que 5 – 7 est impossible alors que 7 – 5 est possible; que la multiplication est une addition répétée; que diviser c’est partager ou mesurer; que les exposants représentent une multiplication répétée; qu’un sommet se situe au point de rencontre de deux arêtes…
Les erreurs et difficultés qui découlent de ce qui précède sont les suivantes.
- 35 – 17 = 22, qui est l’erreur la plus fréquente en calcul.
- Incapacité à comprendre :
· que ½ × ½ = ¼ ou que (-3) × (-4) = 12 ;
· que 1 $ ÷1/2 = 2 $ ;
· que 60 = 1
· que le cône a effectivement un sommet (un apex est un sommet remarquable…)
Il me semple qu’il existe deux possibilités afin d’éviter que des aspects particuliers d’un concept deviennent, pour l’élève, le concept lui-même.
Première possibilité : Présenter dès le début au moins un cas de chaque type d’applications du concept.
Deuxième possibilité : Partir d’une schématisation à laquelle toutes les applications du concept puissent être associées.
La première possibilité me semble irréaliste puisqu’il existe trop de types d’applications de certains concepts pour qu’il soit possible de les évoquer de façon exhaustive et d’en tirer une définition générale correcte. D’ailleurs, une définition correcte de la multiplication, par exemple, ressemblerait à «une opération associative, commutative, distributive sur l’addition…» Ouf ! Ce n’est pas avec une définition semblable que le concept de multiplication deviendra accessible.
La seconde possibilité me semble beaucoup plus réaliste. Une sorte de schématisation ou d’image mentale, toujours la même, pour toute la fonction additive, une autre pour toute la fonction multiplicative, une autre pour tous les types d’exposants… Une image mentale pouvant être un dessin ou une disposition particulière à moins que ce ne soit une petite chansonnette ou un ensemble de gestes familiers.
En guise d’exemple, la fonction additive peut toujours être illustrée sur un axe. Le nom de cet axe est le dénominateur commun de l’addition ou de la soustraction à effectuer. Sur l’axe des x, on additionne ou on soustrait des x : 5x – 2x = 3x. Sur l’axe des cinquièmes, on additionne ou on soustrait des cinquièmes.
Par contre, il ne peut y avoir de dénominateur commun en multiplication ou en division : 3 m × 4 m = 12 m2. Cela implique que la fonction multiplicative ne peut être illustrée sur un seul axe. Il en faudra deux et l’on formera un rectangle. Or le rectangle peut illustrer tous les problèmes impliquant la division et la multiplication.
Bref, la fonction multiplicative serait fortement associée au rectangle et, par la suite, toutes ses applications le seraient aussi. De la même façon, la fonction additive serait associée à des déplacements sur un axe.
En guise d’exemples : la multiplication consiste à trouver l’aire d’un rectangle dont les côtés sont connus; en division, il faut trouver un côté alors que l’aire et l’autre côté sont connus; extraire la racine carrée, c’est trouver la longueur du côté d’un carré dont l’aire est connue; factoriser, c’est trouver les côtés possibles d’un rectangle dont l’aire est connue.
Connaissant l’espace parcouru par un mobile en un temps donné, la vitesse de ce mobile correspond au côté d’un rectangle dont l’aire représente l’espace parcouru et la longueur, le temps du déplacement. Il faut donc effectuer une division. En électricité, le voltage est trouvé en multipliant l’ampérage par la résistance. L’aire du rectangle représente donc le voltage et les côtés représentent l’ampérage et la résistance. À l’épicerie, si un demi-kilogramme de viande coûte quatre dollars alors l’aire du rectangle représentera le prix de ce demi-kilogramme, soit quatre dollars, la hauteur représentera le nombre de kilogrammes achetés, ici un demi et la longueur représentera le prix d’un kilogramme, soit huit dollars. On aura donc : 4$ ÷ ½ = 8$ soit le prix payé divisé par le nombre de kilogrammes achetés, ce qui conduit à trouver le prix d’un kilogramme.
À vous!
Robert Lyons
Les erreurs et difficultés qui découlent de ce qui précède sont les suivantes.
- 35 – 17 = 22, qui est l’erreur la plus fréquente en calcul.
- Incapacité à comprendre :
· que ½ × ½ = ¼ ou que (-3) × (-4) = 12 ;
· que 1 $ ÷1/2 = 2 $ ;
· que 60 = 1
· que le cône a effectivement un sommet (un apex est un sommet remarquable…)
Il me semple qu’il existe deux possibilités afin d’éviter que des aspects particuliers d’un concept deviennent, pour l’élève, le concept lui-même.
Première possibilité : Présenter dès le début au moins un cas de chaque type d’applications du concept.
Deuxième possibilité : Partir d’une schématisation à laquelle toutes les applications du concept puissent être associées.
La première possibilité me semble irréaliste puisqu’il existe trop de types d’applications de certains concepts pour qu’il soit possible de les évoquer de façon exhaustive et d’en tirer une définition générale correcte. D’ailleurs, une définition correcte de la multiplication, par exemple, ressemblerait à «une opération associative, commutative, distributive sur l’addition…» Ouf ! Ce n’est pas avec une définition semblable que le concept de multiplication deviendra accessible.
La seconde possibilité me semble beaucoup plus réaliste. Une sorte de schématisation ou d’image mentale, toujours la même, pour toute la fonction additive, une autre pour toute la fonction multiplicative, une autre pour tous les types d’exposants… Une image mentale pouvant être un dessin ou une disposition particulière à moins que ce ne soit une petite chansonnette ou un ensemble de gestes familiers.
En guise d’exemple, la fonction additive peut toujours être illustrée sur un axe. Le nom de cet axe est le dénominateur commun de l’addition ou de la soustraction à effectuer. Sur l’axe des x, on additionne ou on soustrait des x : 5x – 2x = 3x. Sur l’axe des cinquièmes, on additionne ou on soustrait des cinquièmes.
Par contre, il ne peut y avoir de dénominateur commun en multiplication ou en division : 3 m × 4 m = 12 m2. Cela implique que la fonction multiplicative ne peut être illustrée sur un seul axe. Il en faudra deux et l’on formera un rectangle. Or le rectangle peut illustrer tous les problèmes impliquant la division et la multiplication.
Bref, la fonction multiplicative serait fortement associée au rectangle et, par la suite, toutes ses applications le seraient aussi. De la même façon, la fonction additive serait associée à des déplacements sur un axe.
En guise d’exemples : la multiplication consiste à trouver l’aire d’un rectangle dont les côtés sont connus; en division, il faut trouver un côté alors que l’aire et l’autre côté sont connus; extraire la racine carrée, c’est trouver la longueur du côté d’un carré dont l’aire est connue; factoriser, c’est trouver les côtés possibles d’un rectangle dont l’aire est connue.
Connaissant l’espace parcouru par un mobile en un temps donné, la vitesse de ce mobile correspond au côté d’un rectangle dont l’aire représente l’espace parcouru et la longueur, le temps du déplacement. Il faut donc effectuer une division. En électricité, le voltage est trouvé en multipliant l’ampérage par la résistance. L’aire du rectangle représente donc le voltage et les côtés représentent l’ampérage et la résistance. À l’épicerie, si un demi-kilogramme de viande coûte quatre dollars alors l’aire du rectangle représentera le prix de ce demi-kilogramme, soit quatre dollars, la hauteur représentera le nombre de kilogrammes achetés, ici un demi et la longueur représentera le prix d’un kilogramme, soit huit dollars. On aura donc : 4$ ÷ ½ = 8$ soit le prix payé divisé par le nombre de kilogrammes achetés, ce qui conduit à trouver le prix d’un kilogramme.
À vous!
Robert Lyons
dimanche 30 novembre 2008
De la complexité (2)
Afin de comprendre le rôle d’un concept ou d’un quelconque élément d’apprentissage, il faut forcément qu’il soit situé dans un contexte pertinent. Ce contexte sera nécessairement plus large que le concept étudié, donc plus complexe.
Il me semble qu’il y a au moins deux avantages à plonger, au départ, l’élève dans un contexte complexe et ce, indépendamment du fonctionnement du cerveau tel que présenté la semaine dernière.
D’abord lorsque le contexte est pertinent, l’élève peut percevoir l’utilité du concept qu’il tente de développer. De cette perception découle la motivation. En fait, on peut difficilement être motivé à apprendre ou à faire quelque chose dont l’utilité nous est inconnue.
Par ailleurs, le contexte sert d’encadrement à tout le processus de résolution de problèmes et permet souvent à l’élève de cheminer avec très peu d’aide dans l’élaboration et la validation de sa démarche.
En lisant vos réflexions sur le blogue, je me suis rappelé du cheminement de ma fille lorsque je lui ai enseigné à lire. Elle n’avait que dix mois lorsque je lui ai montré une affiche où figurait le mot « maman » et une autre où on pouvait lire « papa ». En peu de temps, elle distinguait ces mots sans erreurs. Ensuite j’ai ajouté son prénom, celui de son petit voisin et diverses parties du corps. Chaque mot figurait alors sur une petite fiche de 8 cm sur 13 cm.
Elle avait dix-huit mois lorsque survint la première neige du nouvel hiver. Comme tous les enfants, elle était fascinée. Je lui ai demandé si elle voulait que j’écrive le mot « neige » ? Elle m’a regardé en disant « neige ? » et son étonnement était important. Elle a regardé longuement ce mot. En détournant son regard, celui-ci est tombé sur une chaise. Elle m’a regardé en disant « chaise ? » J’ai écrit ce mot. Elle venait de comprendre qu’il était possible d’écrire des mots qui désignaient autre chose que des personnes ou des parties du corps. Tous les mots appris à ce moment faisaient partie de ces catégories de mots. Quelques jours plus tard, elle me dit « la chaise ? » Visiblement elle venait de comprendre que l’on pouvait écrire tout ce que l’on disait.
J’ai aussi observé avec elle et, avec sa fille, que je soumets au même régime, que toutes deux sont passées rapidement à l’observation des lettres. Ainsi, elles ont dit « C’est la lettre de maman » pour le m. Par la suite, en voyant cette lettre dans un mot quelconque, elles s’exclamaient « Maman ! ». Mais elles ont vite changé pour « C’est la lettre à maman ! »
Ma petite-fille aime bien, malgré ses deux ans et sept mois, dire qu’elle est grande et faire comme les grands. Souvent, lorsque je travaille à l’ordinateur, elle se glisse sur mes genoux et me dit « Quelle lettre ? » Il y a quelques semaines, comme elle voulait m’imiter, j’ai eu l’idée de lui tenir un doigt de chaque main et de lui faire taper mon texte. Depuis ce temps, cela semble être devenu un de ses jeux préférés. Mais, elle est du genre « Je suis capable TOUTE seule » et, depuis deux jours, elle ne veut plus que je lui tienne les doigts. Elle me demande « Quelle lettre ? » Je lui réponds : « Le A de Aube-Marie », c’est son nom, « le R de Robert », « le D de Dany ». Nous avons eu un court problème avec le A, lorsqu’elle en a trouvé quatre sur le clavier.
Hum ! Je voulais écrire sur quelque chose de complètement différent au début de cette lettre. Je me suis égaré. Tant pis ! Les conclusions que je tire de ces expériences en lecture, bon, c’est reparti, c’est que les enfants sont facilement motivés à apprendre la lecture lorsque les premiers caractères écrits sur lesquels on attire leur attention sont associables à des choses ou à des personnes qu’ils connaissent. Cependant, ils remarquent davantage la première lettre du mot, parfois la dernière, et n’observent les autres lettres que lorsqu’ils sont confrontés à des mots qui se ressemblent tels pomme, porte, poire.
D’ailleurs, j’ai remarqué que ma fille et ma petite-fille se sont intéressées beaucoup plus tard à lire les chiffres. Même s’ils ont appris tôt des comptines avec des nombres, il semble que les noms des nombres sont beaucoup moins porteurs de sens, avant trois ou quatre ans, que des mots tels maman, pied, orange, crayon.
Alors, est-ce possible de motiver un enfant à apprendre sans un contexte plus complexe que le simple concept que nous voulons développer ? Un enfant n’a-t-il pas davantage l’occasion de développer sa pensée et ses stratégies d’apprentissage lorsqu’il est plongé dans un contexte qu’il comprend et qui lui pose un problème qu’il ressent ? Chaque pas vers une solution n’est-il pas guidé et encadré par ce contexte ? Et, en mathématiques, ne devons-nous pas choisir comme contexte de départ ce qui a guidé nos ancêtres à élaborer les concepts et outils des mathématiques ? Allons plus loin, les programmes de mathématiques, même ceux qui s’adressent aux plus jeunes de nos élèves, ne devraient-ils pas faire une place importante à l’histoire des mathématiques ?
À vous maintenant.
Et, un gros merci aux auteurs de chacun des commentaires émis jusqu’à présent.
Robert Lyons
Il me semble qu’il y a au moins deux avantages à plonger, au départ, l’élève dans un contexte complexe et ce, indépendamment du fonctionnement du cerveau tel que présenté la semaine dernière.
D’abord lorsque le contexte est pertinent, l’élève peut percevoir l’utilité du concept qu’il tente de développer. De cette perception découle la motivation. En fait, on peut difficilement être motivé à apprendre ou à faire quelque chose dont l’utilité nous est inconnue.
Par ailleurs, le contexte sert d’encadrement à tout le processus de résolution de problèmes et permet souvent à l’élève de cheminer avec très peu d’aide dans l’élaboration et la validation de sa démarche.
En lisant vos réflexions sur le blogue, je me suis rappelé du cheminement de ma fille lorsque je lui ai enseigné à lire. Elle n’avait que dix mois lorsque je lui ai montré une affiche où figurait le mot « maman » et une autre où on pouvait lire « papa ». En peu de temps, elle distinguait ces mots sans erreurs. Ensuite j’ai ajouté son prénom, celui de son petit voisin et diverses parties du corps. Chaque mot figurait alors sur une petite fiche de 8 cm sur 13 cm.
Elle avait dix-huit mois lorsque survint la première neige du nouvel hiver. Comme tous les enfants, elle était fascinée. Je lui ai demandé si elle voulait que j’écrive le mot « neige » ? Elle m’a regardé en disant « neige ? » et son étonnement était important. Elle a regardé longuement ce mot. En détournant son regard, celui-ci est tombé sur une chaise. Elle m’a regardé en disant « chaise ? » J’ai écrit ce mot. Elle venait de comprendre qu’il était possible d’écrire des mots qui désignaient autre chose que des personnes ou des parties du corps. Tous les mots appris à ce moment faisaient partie de ces catégories de mots. Quelques jours plus tard, elle me dit « la chaise ? » Visiblement elle venait de comprendre que l’on pouvait écrire tout ce que l’on disait.
J’ai aussi observé avec elle et, avec sa fille, que je soumets au même régime, que toutes deux sont passées rapidement à l’observation des lettres. Ainsi, elles ont dit « C’est la lettre de maman » pour le m. Par la suite, en voyant cette lettre dans un mot quelconque, elles s’exclamaient « Maman ! ». Mais elles ont vite changé pour « C’est la lettre à maman ! »
Ma petite-fille aime bien, malgré ses deux ans et sept mois, dire qu’elle est grande et faire comme les grands. Souvent, lorsque je travaille à l’ordinateur, elle se glisse sur mes genoux et me dit « Quelle lettre ? » Il y a quelques semaines, comme elle voulait m’imiter, j’ai eu l’idée de lui tenir un doigt de chaque main et de lui faire taper mon texte. Depuis ce temps, cela semble être devenu un de ses jeux préférés. Mais, elle est du genre « Je suis capable TOUTE seule » et, depuis deux jours, elle ne veut plus que je lui tienne les doigts. Elle me demande « Quelle lettre ? » Je lui réponds : « Le A de Aube-Marie », c’est son nom, « le R de Robert », « le D de Dany ». Nous avons eu un court problème avec le A, lorsqu’elle en a trouvé quatre sur le clavier.
Hum ! Je voulais écrire sur quelque chose de complètement différent au début de cette lettre. Je me suis égaré. Tant pis ! Les conclusions que je tire de ces expériences en lecture, bon, c’est reparti, c’est que les enfants sont facilement motivés à apprendre la lecture lorsque les premiers caractères écrits sur lesquels on attire leur attention sont associables à des choses ou à des personnes qu’ils connaissent. Cependant, ils remarquent davantage la première lettre du mot, parfois la dernière, et n’observent les autres lettres que lorsqu’ils sont confrontés à des mots qui se ressemblent tels pomme, porte, poire.
D’ailleurs, j’ai remarqué que ma fille et ma petite-fille se sont intéressées beaucoup plus tard à lire les chiffres. Même s’ils ont appris tôt des comptines avec des nombres, il semble que les noms des nombres sont beaucoup moins porteurs de sens, avant trois ou quatre ans, que des mots tels maman, pied, orange, crayon.
Alors, est-ce possible de motiver un enfant à apprendre sans un contexte plus complexe que le simple concept que nous voulons développer ? Un enfant n’a-t-il pas davantage l’occasion de développer sa pensée et ses stratégies d’apprentissage lorsqu’il est plongé dans un contexte qu’il comprend et qui lui pose un problème qu’il ressent ? Chaque pas vers une solution n’est-il pas guidé et encadré par ce contexte ? Et, en mathématiques, ne devons-nous pas choisir comme contexte de départ ce qui a guidé nos ancêtres à élaborer les concepts et outils des mathématiques ? Allons plus loin, les programmes de mathématiques, même ceux qui s’adressent aux plus jeunes de nos élèves, ne devraient-ils pas faire une place importante à l’histoire des mathématiques ?
À vous maintenant.
Et, un gros merci aux auteurs de chacun des commentaires émis jusqu’à présent.
Robert Lyons
dimanche 23 novembre 2008
Mathadore (Numéro 293)
L’hebdomadaire gratuit portant sur l’enseignement des mathématiques
Sur la complexité (1)
L’apprentissage se déroule-t-il du simple au complexe ou, inversement, consiste-t-il à simplifier le complexe ?
J’ai eu le plaisir de montrer à marcher à mes enfants et à leurs enfants. Il faut voir leur concentration à ce moment. D’un à l’autre, il y a des différences, mais, dans chaque cas, il est clair que ce qui était d’abord extrêmement complexe est devenu rapidement une action d’une grande simplicité.
Rappelez-vous votre première heure au volant d’une automobile. Simple ou complexe ? Et maintenant ?
Voici, à gauche, une illustration du travail du cerveau d’un jeune adulte à sa première heure de jeu avec Tetrix. Et, à droite, l’aspect de son cerveau après plusieurs semaines d’entraînement. Cet entraînement lui a permis de réussir sept fois plus de lignes qu’à son premier essai et pourtant son cerveau travaille moins. L’échelle de couleur, indique que le blanc couvre les régions qui travaillent le plus alors que le noir indique celles qui sont inactives. Entre les deux, progressivement : rouge, jaune, vert, bleu,…
Il est clair que l’apprentissage réduit l’activité du cerveau. D’après Richard Haier, du centre d’imagerie cérébrale de l’université de Californie, à qui nous devons ces illustrations, chez les personnes reconnues très intelligentes, l’activité du cerveau est réduite plus rapidement. De plus, les personnes souffrant de déficiences intellectuelles ne réussissent jamais à réduire de façon importante l’activité de leur cerveau. Pour elles, leur vie ressemble à notre première heure de conduite d’une automobile. Épuisant !
Voici, à droite, l’illustration du cerveau d’une personne normale lorsque son cerveau est le moins actif. À gauche, celui d’une personne déficiente dans un moment comparable.
D’après l’illustration, il semble clair que l’apprentissage réduit l’activité du cerveau en remplaçant d’importants efforts de compréhension et de concentration par des automatismes. Si nous entendons par complexe ce qui provoque le plus d’activités au cerveau, l’observation directe du travail du cerveau montre qu’apprendre c’est simplifier le complexe. Il est difficile de contredire les observations objectives de la radiographie du cerveau, il semble que nous devons simplement en prendre acte.
Mais, si comprendre est plus complexe que reproduire ou même qu’exécuter fort efficacement, si notre cerveau, de façon naturelle et… automatique, travaille du complexe vers le simple, qu’en est-il lorsque nous essayons de le forcer à passer du simple au complexe ?
Savoir que, pour diviser un nombre par une fraction, il faut multiplier ce nombre par la fraction inversée et effectuer des divisions semblables n’est pas très complexe. Démontrer pourquoi diviser par deux tiers conduit au même résultat que multiplier par trois demies me semble plus complexe. Il me semble que c’est encore plus complexe de trouver des applications de la division d’un nombre par deux tiers. Quand, par exemple, la division de six mètres par deux tiers, dont le résultat est neuf mètres est-elle utile ? Combien faut-il effectuer de divisions de fractions afin de pouvoir démontrer, par exemple, que diviser par un tiers est équivalent à multiplier par trois ? Combien faut-il en faire pour en comprendre l’utilité ? Si un adulte, qui peut diviser depuis des années, n’a parfois besoin que d’un léger rappel pour diviser des fractions correctement, lui est-il aussi simple de démontrer la valeur de sa technique et son utilité ? Si notre cerveau fonctionne du simple au complexe, pourquoi n’y parvenons-nous pas ?
Chers lecteurs, à vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com/
Robert Lyons
NOTE : Bien que j’apprécie recevoir vos commentaires par courriel, je vous encourage à les placer sur le blogue car la discussion sera beaucoup plus intéressante et plus enrichissante si chacun d’entre vous peut intervenir. Si nous voulons construire un programme ensemble, il ne faut pas exclure de lecteurs de discussions qui ne se dérouleraient autrement qu’entre vous et moi.
L’hebdomadaire gratuit portant sur l’enseignement des mathématiques
Sur la complexité (1)
L’apprentissage se déroule-t-il du simple au complexe ou, inversement, consiste-t-il à simplifier le complexe ?
J’ai eu le plaisir de montrer à marcher à mes enfants et à leurs enfants. Il faut voir leur concentration à ce moment. D’un à l’autre, il y a des différences, mais, dans chaque cas, il est clair que ce qui était d’abord extrêmement complexe est devenu rapidement une action d’une grande simplicité.
Rappelez-vous votre première heure au volant d’une automobile. Simple ou complexe ? Et maintenant ?
Voici, à gauche, une illustration du travail du cerveau d’un jeune adulte à sa première heure de jeu avec Tetrix. Et, à droite, l’aspect de son cerveau après plusieurs semaines d’entraînement. Cet entraînement lui a permis de réussir sept fois plus de lignes qu’à son premier essai et pourtant son cerveau travaille moins. L’échelle de couleur, indique que le blanc couvre les régions qui travaillent le plus alors que le noir indique celles qui sont inactives. Entre les deux, progressivement : rouge, jaune, vert, bleu,…
Il est clair que l’apprentissage réduit l’activité du cerveau. D’après Richard Haier, du centre d’imagerie cérébrale de l’université de Californie, à qui nous devons ces illustrations, chez les personnes reconnues très intelligentes, l’activité du cerveau est réduite plus rapidement. De plus, les personnes souffrant de déficiences intellectuelles ne réussissent jamais à réduire de façon importante l’activité de leur cerveau. Pour elles, leur vie ressemble à notre première heure de conduite d’une automobile. Épuisant !Voici, à droite, l’illustration du cerveau d’une personne normale lorsque son cerveau est le moins actif. À gauche, celui d’une personne déficiente dans un moment comparable.
D’après l’illustration, il semble clair que l’apprentissage réduit l’activité du cerveau en remplaçant d’importants efforts de compréhension et de concentration par des automatismes. Si nous entendons par complexe ce qui provoque le plus d’activités au cerveau, l’observation directe du travail du cerveau montre qu’apprendre c’est simplifier le complexe. Il est difficile de contredire les observations objectives de la radiographie du cerveau, il semble que nous devons simplement en prendre acte.Mais, si comprendre est plus complexe que reproduire ou même qu’exécuter fort efficacement, si notre cerveau, de façon naturelle et… automatique, travaille du complexe vers le simple, qu’en est-il lorsque nous essayons de le forcer à passer du simple au complexe ?
Savoir que, pour diviser un nombre par une fraction, il faut multiplier ce nombre par la fraction inversée et effectuer des divisions semblables n’est pas très complexe. Démontrer pourquoi diviser par deux tiers conduit au même résultat que multiplier par trois demies me semble plus complexe. Il me semble que c’est encore plus complexe de trouver des applications de la division d’un nombre par deux tiers. Quand, par exemple, la division de six mètres par deux tiers, dont le résultat est neuf mètres est-elle utile ? Combien faut-il effectuer de divisions de fractions afin de pouvoir démontrer, par exemple, que diviser par un tiers est équivalent à multiplier par trois ? Combien faut-il en faire pour en comprendre l’utilité ? Si un adulte, qui peut diviser depuis des années, n’a parfois besoin que d’un léger rappel pour diviser des fractions correctement, lui est-il aussi simple de démontrer la valeur de sa technique et son utilité ? Si notre cerveau fonctionne du simple au complexe, pourquoi n’y parvenons-nous pas ?
Chers lecteurs, à vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com/
Robert Lyons
NOTE : Bien que j’apprécie recevoir vos commentaires par courriel, je vous encourage à les placer sur le blogue car la discussion sera beaucoup plus intéressante et plus enrichissante si chacun d’entre vous peut intervenir. Si nous voulons construire un programme ensemble, il ne faut pas exclure de lecteurs de discussions qui ne se dérouleraient autrement qu’entre vous et moi.
samedi 15 novembre 2008
Mathadore (Numéro 292)
La séquence : premier questionnement
La rédaction d’un programme exige toujours que l’on établisse une séquence d’apprentissages. Or cette séquence peut dépendre de diverses perceptions ou conceptions. Une des premières consiste à établir si l’apprentissage doit être réalisé; du particulier au général ou inversement, du général au particulier. Attention de ne pas confondre particulier et général avec simple et complexe sur lesquels nous reviendrons la semaine prochaine.
Entendons-nous donc sur ce qui suit afin de pouvoir en discuter : L’ours, le tigre sont des cas particuliers alors que l’animal est le cas général.
Il me semble évident que c’est au travers de l’observation de cas particuliers, une rose, une tulipe, un œillet, que nous réussissons à déterminer le cas général, la fleur. Lorsqu’il apprend à parler, le jeune enfant remarque rapidement les mots et les classe en tentant de déterminer une espèce de schéma général qui lui indique, par exemple, la position des mots dans une phrase ou la position d’un type de mots par rapport aux mots d’un autre type. Ainsi, les enfants observent qu’un article n’est pas suivi d’un verbe sans, évidemment, pouvoir dire que le mot « un » est un article ou que le mot « finir » est un verbe.
Suite à l’observation de nombreuses phrases, les enfants construisent une sorte de cadre général dans lequel ils peuvent positionner les mots d’une phrase. Ce cadre sera amélioré et rendu plus complexe avec l’âge, mais il ne sera jamais nécessaire de le remettre totalement en question. Ainsi, le jeune enfant remarque tôt que lorsque deux verbes se suivent, le second est à l’infinitif. Il remarque aussitôt qu’à l’infinitif, les verbes se terminent généralement par « er » et « ir ». Cela le pousse à dire : « Il va pleuer ! » ou « Il va pleuir !» au lieu de « Il va pleuvoir ! ». L’ajustement peut prendre plusieurs mois, souvent plusieurs années. J’entendais récemment un adulte dire « Ils jousent. » au lieu de « Ils jouent. » Mais il s’agit d’ajustements mineurs qui placent rarement, sinon jamais, une personne dans une situation où elle remet en doute sa compréhension de base.
Bref, l’apprentissage d’une langue, d’une science, d’un sport, progressent plutôt bien du particulier au général puisque les premiers apprentissages en ces domaines sont suffisamment adéquats pour ne devoir subir plus tard que des ajustements mineurs ne contredisant pas la majeure partie de la structure générale qui a été érigée au départ.
Qu’en est-il en mathématiques ? D’abord, l’enfant apprend à compter. Il s’agit alors davantage d’une comptine que d’un réel dénombrement. Ce sont des mots que l’on tente de réciter dans un certain ordre lorsqu’on entend la question « Combien… ? » Éventuellement l’ordre correct sera appris, ceci n’est qu’un ajustement. Un premier changement d’importance sera de comprendre que chaque mot doit être associé à un élément et à un seul élément d’un ensemble. Il faudra comprendre, un peu plus tard que le dernier mot dit indique le nombre d’éléments de l’ensemble. Il faudra aussi comprendre que l’ordre dans lequel les objets ont été dénombrés n’a aucune importance sur la quantité totale. Mais, parallèlement, il faudra apprendre que le nombre peut indiquer un rang et, cette fois, l’ordre des éléments doit être respecté et maintenu. C’est une nuance importante.
Ces premiers apprentissages touchent ce que nous appelons les quantités discrètes, soit les quantités dénombrables au moyen des nombres entiers seulement : une balle, deux balles, … Donc un univers dans lequel, après un, c’est deux et après deux, c’est trois.
Et puis, un jour, après un, ce n’est plus deux, mais un et une demie ou peut-être un et un quart, à moins que ce soit un et un dixième. Et ce qui était perçu comme un vide, soit l’inexistence de quelque chose entre un et deux, devient un univers contenant une infinité d’éléments. Ce n’est pas un ajustement, c’est un bouleversement.
Plus tard apparaîtront les nombres négatifs, lesquels sont souvent mal compris par de nombreux adultes : « Moins que zéro, c’est rien ! » Il faut vivre au Québec pour comprendre que « moins trente degrés Celsius » ce n’est pas rien, mais « toute une histoire » comme dit ma petite-fille.
Et un jour le nombre devient irrationnel quelque chose qui ne désigne ni un rang, ni une quantité d’objet, ni une position précise sur un axe, mais une position indéterminable entre deux points précis.
Finalement, le nombre imaginaire apparaît à l’intérieur de nombres que l’on dit complexes. Si la somme de deux nombres est 10 et leur produit est 21 alors ces deux nombres sont 3 et 7, des connaissances de longue date. Mais si la somme de deux nombres est 10 et que leur produit est 26 alors nous nous retrouvons avec deux nombres complexes, les nombres 5 + i et 5 – i.
À travers tout cela, qu’est-ce qu’un nombre ? Est-il possible de construire le concept de nombre en passant du particulier au général ? Les premières constructions que nous élaborons du concept de nombre nous aident-elles à comprendre la suite ? Peut-on travailler différemment ?
Voilà chers lecteurs de Mathadore, la première réflexion que je vous propose dans le but de relever notre grand défi : élaborer un programme de mathématiques pour les besoins du 21e siècle.
J’espère que vous serez nombreux à réagir plus bas.
.
Je profite de l’occasion afin de vous remercier des nombreux courriels d’encouragements que vous m’avez expédiés au sujet de ce grand défi. N’oubliez pas que les discussions qui se tiendront sur ce blogue seront des plus enrichissantes si elles proviennent de personnes qui bénéficient de formations différentes, de cultures différentes, qui pratiquent diverses professions et qui ont à cœur de voir l’enseignement des mathématiques s’améliorer.
Robert Lyons
La séquence : premier questionnement
La rédaction d’un programme exige toujours que l’on établisse une séquence d’apprentissages. Or cette séquence peut dépendre de diverses perceptions ou conceptions. Une des premières consiste à établir si l’apprentissage doit être réalisé; du particulier au général ou inversement, du général au particulier. Attention de ne pas confondre particulier et général avec simple et complexe sur lesquels nous reviendrons la semaine prochaine.
Entendons-nous donc sur ce qui suit afin de pouvoir en discuter : L’ours, le tigre sont des cas particuliers alors que l’animal est le cas général.
Il me semble évident que c’est au travers de l’observation de cas particuliers, une rose, une tulipe, un œillet, que nous réussissons à déterminer le cas général, la fleur. Lorsqu’il apprend à parler, le jeune enfant remarque rapidement les mots et les classe en tentant de déterminer une espèce de schéma général qui lui indique, par exemple, la position des mots dans une phrase ou la position d’un type de mots par rapport aux mots d’un autre type. Ainsi, les enfants observent qu’un article n’est pas suivi d’un verbe sans, évidemment, pouvoir dire que le mot « un » est un article ou que le mot « finir » est un verbe.
Suite à l’observation de nombreuses phrases, les enfants construisent une sorte de cadre général dans lequel ils peuvent positionner les mots d’une phrase. Ce cadre sera amélioré et rendu plus complexe avec l’âge, mais il ne sera jamais nécessaire de le remettre totalement en question. Ainsi, le jeune enfant remarque tôt que lorsque deux verbes se suivent, le second est à l’infinitif. Il remarque aussitôt qu’à l’infinitif, les verbes se terminent généralement par « er » et « ir ». Cela le pousse à dire : « Il va pleuer ! » ou « Il va pleuir !» au lieu de « Il va pleuvoir ! ». L’ajustement peut prendre plusieurs mois, souvent plusieurs années. J’entendais récemment un adulte dire « Ils jousent. » au lieu de « Ils jouent. » Mais il s’agit d’ajustements mineurs qui placent rarement, sinon jamais, une personne dans une situation où elle remet en doute sa compréhension de base.
Bref, l’apprentissage d’une langue, d’une science, d’un sport, progressent plutôt bien du particulier au général puisque les premiers apprentissages en ces domaines sont suffisamment adéquats pour ne devoir subir plus tard que des ajustements mineurs ne contredisant pas la majeure partie de la structure générale qui a été érigée au départ.
Qu’en est-il en mathématiques ? D’abord, l’enfant apprend à compter. Il s’agit alors davantage d’une comptine que d’un réel dénombrement. Ce sont des mots que l’on tente de réciter dans un certain ordre lorsqu’on entend la question « Combien… ? » Éventuellement l’ordre correct sera appris, ceci n’est qu’un ajustement. Un premier changement d’importance sera de comprendre que chaque mot doit être associé à un élément et à un seul élément d’un ensemble. Il faudra comprendre, un peu plus tard que le dernier mot dit indique le nombre d’éléments de l’ensemble. Il faudra aussi comprendre que l’ordre dans lequel les objets ont été dénombrés n’a aucune importance sur la quantité totale. Mais, parallèlement, il faudra apprendre que le nombre peut indiquer un rang et, cette fois, l’ordre des éléments doit être respecté et maintenu. C’est une nuance importante.
Ces premiers apprentissages touchent ce que nous appelons les quantités discrètes, soit les quantités dénombrables au moyen des nombres entiers seulement : une balle, deux balles, … Donc un univers dans lequel, après un, c’est deux et après deux, c’est trois.
Et puis, un jour, après un, ce n’est plus deux, mais un et une demie ou peut-être un et un quart, à moins que ce soit un et un dixième. Et ce qui était perçu comme un vide, soit l’inexistence de quelque chose entre un et deux, devient un univers contenant une infinité d’éléments. Ce n’est pas un ajustement, c’est un bouleversement.
Plus tard apparaîtront les nombres négatifs, lesquels sont souvent mal compris par de nombreux adultes : « Moins que zéro, c’est rien ! » Il faut vivre au Québec pour comprendre que « moins trente degrés Celsius » ce n’est pas rien, mais « toute une histoire » comme dit ma petite-fille.
Et un jour le nombre devient irrationnel quelque chose qui ne désigne ni un rang, ni une quantité d’objet, ni une position précise sur un axe, mais une position indéterminable entre deux points précis.
Finalement, le nombre imaginaire apparaît à l’intérieur de nombres que l’on dit complexes. Si la somme de deux nombres est 10 et leur produit est 21 alors ces deux nombres sont 3 et 7, des connaissances de longue date. Mais si la somme de deux nombres est 10 et que leur produit est 26 alors nous nous retrouvons avec deux nombres complexes, les nombres 5 + i et 5 – i.
À travers tout cela, qu’est-ce qu’un nombre ? Est-il possible de construire le concept de nombre en passant du particulier au général ? Les premières constructions que nous élaborons du concept de nombre nous aident-elles à comprendre la suite ? Peut-on travailler différemment ?
Voilà chers lecteurs de Mathadore, la première réflexion que je vous propose dans le but de relever notre grand défi : élaborer un programme de mathématiques pour les besoins du 21e siècle.
J’espère que vous serez nombreux à réagir plus bas.
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Je profite de l’occasion afin de vous remercier des nombreux courriels d’encouragements que vous m’avez expédiés au sujet de ce grand défi. N’oubliez pas que les discussions qui se tiendront sur ce blogue seront des plus enrichissantes si elles proviennent de personnes qui bénéficient de formations différentes, de cultures différentes, qui pratiquent diverses professions et qui ont à cœur de voir l’enseignement des mathématiques s’améliorer.
Robert Lyons
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