Un algorithme de calcul est une procédure réalisée au moyen de matériel, de dessins ou de symboles dans le but de trouver un résultat à une opération donnée. Derrière chaque algorithme se cache un raisonnement rigoureux tel que chaque étape peut être justifiée en fonction des propriétés des nombres ou des opérations. De plus, de façon analogique, il y a correspondance entre les algorithmes concrets, imagés ou symboliques. La seule différence, c’est le mode de représentation.
Il existe trois grandes catégories d’algorithmes : les algorithmes d’apprentissage, les algorithmes optionnels et les algorithmes courants.
Les algorithmes d’apprentissage
Ils sont conçus afin de s’assurer que chaque étape est justifiée. Ils sont inventés par les élèves ou présentés par les enseignants. Pour un adulte habile en calcul, ils semblent lourds et compliqués pour rien. C’est exact et le même phénomène existe lorsqu’on observe un enfant qui apprend à marcher ou à conduire une bicyclette. Il ne faut pas oublier qu’ils font partie d’un processus sans en être le terminus.
Voici un exemple d’algorithme d’apprentissage pour l’addition.
3 4 5
+ 2 7 8
5 1 3
6 2 3
Chaque trait représente une retenue ou un report. Cet algorithme procède de gauche à droite et permet, vers la fin de l’apprentissage, de trouver directement la réponse 623 sans noter préalablement 513 et les tirets.
Les algorithmes optionnels
Il s’agit de techniques qui rendent l’exécution des algorithmes courants plus simple. Habituellement, ils consistent en une modification des nombres de l’opération et, parfois, en une modification de l’opération elle-même.
Par exemple, au lieu de :
· 397 + 245, on peut effectuer 400 + 242;
· 400 – 238, on peut effectuer 399 – 237;
· 48 x 45, on peut effectuer 24 x 90;
· 696 ÷ 24, on peut effectuer 348 ÷ 12 ou 174 ÷ 6;
· ¾ divisé par ½, on peut multiplier ¾ par 2.
Il existe de nombreux exemples d’algorithmes optionnels, malheureusement ils sont surtout utilisés par les élèves et les adultes qui ont développés une compréhension supérieure des mathématiques. Grâce à cette compréhension supérieure, ces personnes simplifient leur travail en calcul et diminuent les risques d’erreurs, ce qui les avantage encore plus.
Les algorithmes courants
On les appelle aussi algorithmes traditionnels. Ils sont l’aboutissement du travail d’apprentissage. Si, lors de cet apprentissage, aucune étape n’a été omise, non seulement l’élève pourra calculer efficacement mais en plus il pourra justifier chaque étape de son algorithme. Par exemple expliquer pourquoi il change 6 ÷ ½ par 6 x 2.
Les algorithmes traditionnels sont habituellement perçus comme une panacée, des incontournables démontrant, lorsqu’ils sont exécutés adéquatement, que l’élève a compris l’essentiel des mathématiques. Ainsi, le québécois francophones considère sa technique de division des entiers comme la technique de division des entiers. Le québécois anglophones aura la même perception pour sa technique, laquelle est différente de celle des francophones. Pendant ce temps, l’asiatique aura la même opinion de son algorithme de division effectué sur un boulier.
Plus intéressants encore sont les algorithmes courants et, souvent inconscients, utilisés en calcul mental surtout. Vous remettez un billet de vingt dollars afin de régler une facture de 14,78 $. Combien doit-on vous rendre? Calculez-le mentalement avant de poursuivre votre lecture.
Si vous avez une expérience de caissière ou de caissier, il est probable que vous ayez d’abord pensé qu’il faut remettre 22 ¢ afin de compléter le dollar et ensuite cinq dollars puisque 15 $ + 5 $ = 20 $. Mais si vous n’avez jamais occupé un tel poste, vous avez probablement pensé que vous deviez recevoir un peu plus que cinq dollars. Vous avez ensuite calculé les vingt-deux cents restantes. Vous avez calculé de gauche à droite malgré ce que l’école vous a appris.
Si vous visitez www.defimath.ca , sur la page d’accueil, vous trouverez un lien pour notre dossier spécial sur les algorithmes. Quelques algorithmes sont présentés en établissant des liens entre l’algorithme symbolique et l’algorithme concret. On y voit l’algorithme d’apprentissage et son aboutissement, l’algorithme courant. À l’occasion des algorithmes optionnels sont aussi présentés.
Que pensez-vous de l’importance d’associer chaque algorithme symbolique à son correspondant concret ? Que pensez-vous d’initier les élèves aux algorithmes optionnels ? Que pensez-vous d’accorder à l’élève le droit d’utiliser l’algorithme de son choix, ce qui inclut, lorsqu’ils sont efficaces, les algorithmes optionnels? Que pensez-vous de n’exiger le calcul efficace qu’à la fin du processus d’apprentissage, c’est-à-dire après une solide exploration de quelques algorithmes d’apprentissage et de quelques algorithmes optionnels mais surtout après que l’élève soit capable d’associer entre eux algorithmes concrets et algorithmes symboliques, tout en étant capable d’en justifier chaque étape ?
À vous !
Robert Lyons
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5 commentaires:
Je crois qu'il faut malheureusement avoir bien compris les math pour pouvoir utiliser les algorithmes optionnels ou courant. Je n'ai pas cependant le souvenir que l'on m'ait enseigner à utiliser les algorithmes de façon à me conduire vers l'utilisation de ces dernier. Le seul souvenir que j'ai, c'est que lorsque j'ai eu de l'intérêt pour les maths, et que j'ai enfin réussis à mieux les comprendre, alors mon cerveau en a "naturellement" développé. C'est comme si tout devait tout à coup être simplifié et cela même uniquement par plaisir et non comme une tâche. Y a t-il moyen de montrer ces avantages au jeunes plutôt que de les faire passer par ces algorithmes d'apprentissage, lesquelles deviennent apparemment des béquilles de calcul?
J'ai tenté de montrer ces raccourcis à ma fille de 6ème année pour lui montrer comment tout cela pouvait être plus simple et plus rapide, mais elle n'y comprenait rien! Est-ce parce que son cerveau n'était pas prêt pour cela ou plutôt parce qu'elle n'avait pas de place pour un autre type d'apprentissage ? Tout ce que je lui montrait était automatiquement rejeté, parce qu'il était différent ce qu'elle était en train d'apprendre, soit l'algorithme d'apprentissage ?!?
Il n'y avait donc pas de place pour le développement "naturel"
Il y a des enfants qui s’intéressent « naturellement » à développer des techniques personnelles de calcul… et d’autres, non. C’est vrai et comme Automath, j’ai plus d’une fois rencontré de la résistance à enseigner des façons de faire différentes à mes enfants pour leurs apprentissages scolaires et les deux raisons mises de l’avant me semblent plausibles : soit l’enfant n’est pas prêt, soit il accorde une confiance indue à l’enseignement de son prof. Mais dans les deux cas, le problème est aussi le nôtre. Pas seulement celui de l’élève ou de son prof. Je veux dire par là que si nous voulons aider un enfant dans ses apprentissages, il faut être bon pédagogue. Robert a déjà fait allusion à l’art d’enseigner et il est très vrai que c’est un paramètre primordial dans le succès que nous rencontrons à aider nos enfants, ou nos élèves si nous sommes profs. La tâche d’enseignant est complexe et exigeante et c’est pour cette raison que les enseignants sont loin de pouvoir être adéquatement formés. Bien peu de professions exigent autant de compétences que l’enseignement au niveau primaire ou secondaire : il faut connaître sa matière (je devrais dire ses matières), puis il faut tout autant connaître les enfants eux-mêmes, leur processus d’apprentissage personnel, leur développement cognitif et affectif; il faut faire avec un système administratif lourd et avec des programmes incomplets; il faut s’informer des résultats de recherche, les comprendre, savoir les mettre en œuvre; il faut composer avec les parents qui souvent comprennent mal la nouveauté simplement parce qu’ils ne sont pas bien informés. Il faut réussir à aimer 24 ou 32 enfants, toute la journée, chaque jour et réussir à faire en sorte qu’ils nous aiment tout autant, car comme le disait Socrate, s'adressant un jour au père d'un jeune homme dont il avait entrepris l'instruction: « Je vous rends votre fils, je ne puis rien lui enseigner, il ne m'aime pas ».
Maintenant pour les techniques de calcul, je me limiterai à partager un de mes plus grands rêves : suivre un groupe d’enfants depuis la maternelle (5 ans) jusqu’à la sixième année (11 ans) à qui aucune technique de calcul n’a été et ne sera enseignée. Aucune, par personne ! Ces enfants auraient d’abord accès à du matériel concret adapté à leur niveau (jetons, matériel de base dix, faux-dollars, planche à calculer, boulier, superplanche, château de nombres…) et ils inventeraient avec ce matériel et un peu d’aide de notre part, à leur rythme, différentes façons de calculer. Leurs propres façons de calculer ! (à partir, bien sûr, de situations-problèmes choisies par nous). Puis, de façon tout à fait pertinente et contextualisée, le calcul mental serait encouragé, de même que la nécessité de garder des traces écrites soit de leurs manipulations, soit de leur calcul mental. C’est tout. Et c’est ainsi que j’entrevois qu’à la fin du primaire, ces enfants seraient les plus grands calculateurs prodiges de tous les temps. Voilà ce qu’est pour moi l’apprentissage « naturel ».
Et c’est ainsi que j’entrevois qu’à la fin du primaire, ces enfants seraient les plus grands calculateurs prodiges de tous les temps. Voilà ce qu’est pour moi l’apprentissage « naturel »
Gilles, un rêve irréaliste sauf dans les écoles alternatives ou à la maison.
Bon. Cela conclut mes interventions. Je lirai avec intérêt la suite.
Numérisation et maîtrise des opérations simples. 3 ou 4 ans de ce régime et nous avons des esprits mathématiques plastiques prêts à aller explorer le complexe.
Bonsoiiiiir, je suis parti!
Bonne année à tous les mathadoriens !
En attendant le prochain article de Robert, voici un article des plus intéressants en lien avec notre intention de formuler les bases et les particularités d'un nouveau programme de math...
http://www.oregonlive.com/news/index.ssf/2008/12/math_education.html
Je crois que le lien a été coupé dans ma précédente intervention:
http://www.oregonlive.com/news/index.ssf/2008/12/math_education.html
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