Mathadore (Numéro 298)
Les quantités (1)

L’élaboration d’un programme exige évidemment que des décisions soient prises sur les contenus de ce programme. Or, depuis les années soixante de nouvelles sections des mathématiques ont été ajoutées aux programmes traditionnels. C’est le cas de la topologie qui traite des dessins tracés sur des surfaces élastiques. Il y a donc lieu de déterminer les domaines mathématiques à aborder ainsi que l’importance à leur accorder.

S’il est une partie des mathématiques qui figure sans contestation dans les programmes, c’est l’étude de l’aspect quantitatif de notre univers. On distingue deux grands domaines, les quantités discrètes et les quantités continues. Le nombre constitue l’outil qui décrit ces quantités. Une quantité est discrète lorsqu’elle est décrite correctement avec les nombres entiers seulement, par exemple, trois personnes, cinq automobiles… Une quantité est continue lorsque les fractions sont souvent nécessaires afin de la décrire : 3,5 heures, 4 ½ mètres. C’est le domaine de la mesure.

Il me semble important de fusionner tous les éléments de contenus qui sollicitent les mêmes règles mathématiques. Cela simplifie l’enseignement, mais surtout, cela permet à l’élève de mieux comprendre un concept. En effet, l’étude de nombreux aspects du même concept évite des interprétations trop restreintes qui ne sont pas généralisables. De telles interprétations constituent une des causes les plus importantes de difficultés en mathématiques.

Donc, il faudrait que l’étude des quantités ne partage pas l’enseignement du nombre en chapitres sur la mesure et en chapitres sur les quantités discrètes. Prenons l’addition. Pour additionner deux nombres, ils doivent représenter des quantités de même nature et de même ordre. De même nature, c’est-à-dire qu’on ne peut additionner des mètres avec des heures ou des litres avec des grammes. Par ailleurs, lorsqu’il faut additionner des quantités d’ordres différents, il faut d’abord leur trouver une unité commune de quantification. Par exemple, 3 heures + 5 minutes devient 180 minutes + 5 minutes et 3 mètres + 5 centimètres devient 300 cm + 5 cm ou 3 m + 0,05 m. De la même façon, on ne peut additionner 3 dizaines + 5 unités sans considérer que 3 dizaines = 30 unités.

Bref, il me semble que la mesure doit être intégrée aux leçons et chapitres qui étudient les nombres discrets. Cela permettrait d’illustrer les opérations au moyen d’exemples diversifiés et concrets. Cela éviterait aussi l’apprentissage de définitions inadéquates résultant de l’étude de contextes trop restreints. Ainsi, puisqu’en mesure 3 mètres × 2 mètres = 6 mètres carrés, définir la multiplication telle une addition répétée n’a plus de sens. On se rend alors compte que cette définition provient d’une étude limitée à quelques exemples seulement.

Profitons de l’occasion afin de corriger une erreur fréquente dans la rédaction de propositions mathématiques. Voici des additions :

a) 3 mètres + 4 mètres = 7 mètres;
b) 3 heures + 4 heures = 7 heures;
c) 3 dizaines + 4 dizaines = 7 dizaines;
d) 3x + 4x = 7x;
e) 3 pommes + 4 oranges = 7 fruits;
f) 3 pommes + 4 pommes = 7 pommes.

Si les quatre premières additions sont correctes, les deux suivantes sont inadéquates. En fait, chaque fois qu’une addition utilise des unités de quantification (mètres, heures, centaines, cinquièmes, x, …), ces unités ont une grandeur standard et commune. Bref, s’il existe de petites pommes et de grosses pommes, il n’existe pas de petits mètres et de grands mètres, de petites dizaines et de grandes dizaines, chacune ayant obligatoirement dix unités.

Il en résulte que lorsque des unités sont présentes dans une proposition mathématique, elles proviennent de la mesure ou elles sont neutres, telles les dizaines, les centaines, …

Un caprice ? Voyons cela de plus près. Peut-on faire plus de compote avec douze pommes ou avec quinze pommes ? Cela dépend certainement de la grosseur des pommes. Peut-on tailler plus de rubans de vingt centimètres dans un ruban de cent centimètres ou dans un ruban de cent-soixante centimètres ? La réponse ne fait ici aucun doute car l’unité de quantification est constante. Peut-on faire plus de paquets de cinq unités avec trois dizaines ou avec quarante-cinq unités ? La réponse est claire ici aussi.

Alors, êtes-vous favorable à regrouper le plus souvent possible des manifestations des mêmes concepts, quitte à ce que la mesure et le calcul sur les quantités discrètes figurent dans les mêmes chapitres d’un manuel d’apprentissage ?

À vous !

Robert Lyons