Préscolaire : contenu disciplinaire (1)
Essentiellement, les mathématiques touchent trois domaines : les quantités, l’espace et les propositions.
Les quantités
Les quantités sont dites discrètes ou continues. Dans chaque cas, l’unité de quantification doit être définie et constante. Dans le domaine du continu, c’est-à-dire de la mesure, l’unité est une grandeur physique définie par une convention qui, idéalement, est universelle, sinon fort répandue : le mètre, l’heure, le litre, l’ampère, … Ces unités sont parfaitement identiques. Il n’y a pas de petits litres ou de grands litres. Pour cette raison, il est possible de les additionner, de les soustraire, de les multiplier, de les diviser sans risques de contradictions. Ainsi, 1m + 3m > 1m + 2m (m = mètre).
Les unités discrètes sont souvent loin d’être identiques et on ne peut les additionner, par exemple, qu’après avoir précisé ce que nous considérons être la propriété dont l’opération arithmétique tiendra compte. Cette propriété désignera toujours le nombre d’objets mais jamais son nom. Prenons un exemple. Dans deux sacs, on a déposé des objets. Il y a deux objets dans le premier sac et trois dans le second. Combien d’objets avons-nous ? Cinq ou sept ? Cela dépend des objets qu’il faut considérer. Les sacs sont des objets que nous avons, mais faut-il les dénombrer ? La réponse sera non si l’unité est définie comme étant ce qu’il y a à l’intérieur des sacs. La réponse sera oui si l’unité est définie comme étant un objet provenant du marchand.
Mais si un sac contient des pommes et l’autre des gants, pouvons-nous additionner les nombres qui représentent le contenu des sacs ? Oui, si et seulement si, nous ne considérons que le nombre d’objets et aucune autre de leurs propriétés. Il en résulte que 5 = 5 même si le premier sac contient des pommes et le second des gants. La seule chose qui importe étant le nombre d’objets. C’est pour cette raison que l’on s’abstiendra d’écrire 5 gants = 5 pommes.
C’est une des merveilles des mathématiques que d’avoir mis sur pieds un ensemble de termes et de symboles qui peuvent aussi bien désigner des personnes, des idées ou des objets. Mais, s’il y a cinq pommes dans un sac et 5 autres pommes dans un autre sac, pouvons-nous écrire que 5 pommes = 5 pommes ? Pour le savoir, lequel de ces deux sacs prendriez-vous afin de faire le plus de compote ? Cela dépendrait de la grosseur des pommes n’est-ce pas ? Or si un sac contient de petites pommes et l’autre de grosses pommes, vous devriez en conclure qu’au début vous aviez 5 pommes = 5 pommes mais, plus tard que1 compote < 1 compote, ce qui est illogique.
En ce qui concerne les quantités, au préscolaire, il y a lieu de débuter par l’étude de la mesure de longueurs. D’abord, il faut que l’élève apprenne à comparer correctement les longueurs de crayons, de bâtonnets ou de réglettes. Ensuite, il faut qu’il apprenne à comparer la longueur d’un objet à la longueur totale d’un ensemble de bâtonnets qui, étant identiques, serviront d’unités.
À l’étape suivante, il devra dénombrer un ensemble d’objets en associant à chacun de ces objets une réglette-unité. De cette façon, ces objets perdront toutes les propriétés sauf celle qui désigne leur nombre. De plus, grâce aux réglettes-unité, il sera possible de comparer le nombre d’éléments de divers ensembles. Ainsi, l’élève aura l’occasion de comprendre à la fois la conservation du nombre et celle de la longueur.
Lorsque les élèves seront devenus habiles avec ce qui précède, mais sur des ensembles de moins d’une dizaine d’objets, il sera temps de leur proposer des ensembles qui contiendront de plus en plus d’éléments. Si comparer entre eux des ensembles de cinq et sept éléments est relativement simple, le problème est fort différent lorsque ces ensembles contiennent chacun plus d’une vingtaine d’éléments.
En effet, tenter d’aligner d’aussi grands ensembles de réglettes-unité demande une grande dextérité. Et, peut-être que l’élève va manquer de réglettes-unité J. Il faut alors laisser l’élève réfléchir à ce problème et, éventuellement, comprendre qu’en regroupant un certain nombre de réglettes-unité, elles peuvent être remplacées par une réglette plus grande.
En passant, notez que, pendant toutes les activités précédentes, les nombres n’ont jamais été écrits. On s’est contenté de les évoquer oralement.
La suite, la semaine prochaine.
À vous !
Robert Lyons
dimanche 22 mars 2009
dimanche 15 mars 2009
Mémoire assistée
Que ce soit au préscolaire, au primaire ou au secondaire, de nombreux élèves se fient sur leur mémoire pure sans connaître les techniques simples qui leur permettraient de «soulager» cette faculté. La connaissance de la comptine des nombres : un, deux, trois… est spectaculaire chez les jeunes enfants, mais elle ne démontre nullement la compréhension du concept de nombre. Certains enfants de cinq ans connaissent déjà certaines combinaisons d’addition, divers termes de géométrie ou de mesure. C’est intéressant, mais ne faudrait-il pas penser, non seulement à meubler leur mémoire, mais aussi à développer leur capacité à mémoriser ?
A : Marteau, veston, chaise, bicyclette, crayon, débarbouillette, coffret, guitare, lampe.
B : Vert, tulipe, pantalon, gant, rose, jaune, bleu, bas, œillet.
Si vous tentez de mémoriser les deux listes de mots précédentes, même si elle contiennent toutes deux neuf mots, il y a de fortes chances que vous réussissiez plus facilement à mémoriser la seconde liste que la première si vous avez remarqué qu’il est possible de classer ses termes : trois couleurs, trois vêtements et trois fleurs. Même si vous n’avez pas tenté de mémoriser les termes de la seconde liste, vous pouvez probablement en nommer quelques-uns en pensant aux trois catégories de mots que l’on y retrouve.
Et maintenant, combien de mots de la première liste pouvez-vous nommer ? Probablement beaucoup moins que ce que vous avez réussi avec la seconde liste.
En revenant de sa promenade en bicyclette, Manon enlève son veston et se lave la figure avec une débarbouillette. Une note, écrite au crayon, lui rappelle qu’elle doit aller chercher sa guitare au grenier. Elle prend une lampe et un marteau afin de trouver et d’ouvrir le coffret placé sur une chaise dans un coin du grenier. C’est dans ce coffret qu’elle range sa guitare.
Relisez le texte précédent deux fois. Et maintenant, combien de mots (en italique) de la liste A pouvez-vous mentionner ? N’est-ce pas plus facile ainsi ?
Essayez maintenant de visualiser les scènes suivantes :
1. Une fillette sur une bicyclette, son veston et sa figure sont couverts de boue.
2. La même fillette se lave le visage avec une débarbouillette tout en regardant une feuille de papier sur laquelle on a tracé le dessin d’une guitare, avec un crayon.
3. Un coin du grenier, éclairé par une lampe, dans ce coin, un coffret posé sur une chaise et un marteau appuyé sur le coffret.
Si vous visualisez mentalement ces trois scènes, il vous sera plus facile de vous souvenir de la liste A.
Dans une semaine, ce sera encore possible. Avec le temps, la liste B deviendra moins évidente alors que la liste A, que vous l’ayez apprise en vous racontant l’histoire de Manon ou en visualisant les trois scènes, restera plus clairement dans votre mémoire.
Plusieurs élèves tentent de mémoriser en utilisant leur mémoire «pure» alors que d’autres l’assistent en établissant des liens logiques (liste B) ou des liens analogiques (liste A).
Imaginez une grille carrée de neuf cases. Dans chacune de ces cases nous pouvons placer un élément sans rapport avec les éléments des autres cases. Considérez maintenant que, d’une personne à l’autre, certaines réussiront à se souvenir de trois, d’autres de cinq et d’autres de neuf des éléments placés dans cette grille. Bref, considérez que les capacités de la mémoire pure varient d’un individu à un autre. Pensez à la liste B, elle contient neuf éléments distincts. En les classant, nous obtenons trois groupes d’objets qui ne sont plus indépendants. Chaque groupe peut n’occuper qu’une seule case. Pour celui qui a de la difficulté à mémoriser plus de cinq éléments distincts, son travail est facilité grâce à un classement logique par couleurs, vêtements et fleurs. Mais est-ce que le rouge est une de ces couleurs ? Y a-t-il un chandail ?
Essayons autre chose. Voyez-vous cette rose dessinée sur ce pantalon vert ? Et cette tulipe jaune sur ce bas ? Et cet œillet dans ce gant bleu ? Il ne vous faut maintenant que trois cases afin de loger ces neuf mots dans votre mémoire. Mais attendez, on sonne à la porte. En ouvrant la porte, une personne vous tend un œillet avec son gant bleu. Sur son pantalon vert est brodée une rose magnifique. On remarque aussi que ses bas sont décorés de tulipes jaunes. Construisez-vous une image mentale de ce personnage, lorsque vous le verrez bien, il ne prendra plus qu’une seule case de votre grille de départ. Le travail de votre mémoire devient plus facile.
Ne croyez-vous pas que de telles techniques doivent être enseignées aux élèves dès le préscolaire ?
Robert Lyons
Que ce soit au préscolaire, au primaire ou au secondaire, de nombreux élèves se fient sur leur mémoire pure sans connaître les techniques simples qui leur permettraient de «soulager» cette faculté. La connaissance de la comptine des nombres : un, deux, trois… est spectaculaire chez les jeunes enfants, mais elle ne démontre nullement la compréhension du concept de nombre. Certains enfants de cinq ans connaissent déjà certaines combinaisons d’addition, divers termes de géométrie ou de mesure. C’est intéressant, mais ne faudrait-il pas penser, non seulement à meubler leur mémoire, mais aussi à développer leur capacité à mémoriser ?
A : Marteau, veston, chaise, bicyclette, crayon, débarbouillette, coffret, guitare, lampe.
B : Vert, tulipe, pantalon, gant, rose, jaune, bleu, bas, œillet.
Si vous tentez de mémoriser les deux listes de mots précédentes, même si elle contiennent toutes deux neuf mots, il y a de fortes chances que vous réussissiez plus facilement à mémoriser la seconde liste que la première si vous avez remarqué qu’il est possible de classer ses termes : trois couleurs, trois vêtements et trois fleurs. Même si vous n’avez pas tenté de mémoriser les termes de la seconde liste, vous pouvez probablement en nommer quelques-uns en pensant aux trois catégories de mots que l’on y retrouve.
Et maintenant, combien de mots de la première liste pouvez-vous nommer ? Probablement beaucoup moins que ce que vous avez réussi avec la seconde liste.
En revenant de sa promenade en bicyclette, Manon enlève son veston et se lave la figure avec une débarbouillette. Une note, écrite au crayon, lui rappelle qu’elle doit aller chercher sa guitare au grenier. Elle prend une lampe et un marteau afin de trouver et d’ouvrir le coffret placé sur une chaise dans un coin du grenier. C’est dans ce coffret qu’elle range sa guitare.
Relisez le texte précédent deux fois. Et maintenant, combien de mots (en italique) de la liste A pouvez-vous mentionner ? N’est-ce pas plus facile ainsi ?
Essayez maintenant de visualiser les scènes suivantes :
1. Une fillette sur une bicyclette, son veston et sa figure sont couverts de boue.
2. La même fillette se lave le visage avec une débarbouillette tout en regardant une feuille de papier sur laquelle on a tracé le dessin d’une guitare, avec un crayon.
3. Un coin du grenier, éclairé par une lampe, dans ce coin, un coffret posé sur une chaise et un marteau appuyé sur le coffret.
Si vous visualisez mentalement ces trois scènes, il vous sera plus facile de vous souvenir de la liste A.
Dans une semaine, ce sera encore possible. Avec le temps, la liste B deviendra moins évidente alors que la liste A, que vous l’ayez apprise en vous racontant l’histoire de Manon ou en visualisant les trois scènes, restera plus clairement dans votre mémoire.
Plusieurs élèves tentent de mémoriser en utilisant leur mémoire «pure» alors que d’autres l’assistent en établissant des liens logiques (liste B) ou des liens analogiques (liste A).
Imaginez une grille carrée de neuf cases. Dans chacune de ces cases nous pouvons placer un élément sans rapport avec les éléments des autres cases. Considérez maintenant que, d’une personne à l’autre, certaines réussiront à se souvenir de trois, d’autres de cinq et d’autres de neuf des éléments placés dans cette grille. Bref, considérez que les capacités de la mémoire pure varient d’un individu à un autre. Pensez à la liste B, elle contient neuf éléments distincts. En les classant, nous obtenons trois groupes d’objets qui ne sont plus indépendants. Chaque groupe peut n’occuper qu’une seule case. Pour celui qui a de la difficulté à mémoriser plus de cinq éléments distincts, son travail est facilité grâce à un classement logique par couleurs, vêtements et fleurs. Mais est-ce que le rouge est une de ces couleurs ? Y a-t-il un chandail ?
Essayons autre chose. Voyez-vous cette rose dessinée sur ce pantalon vert ? Et cette tulipe jaune sur ce bas ? Et cet œillet dans ce gant bleu ? Il ne vous faut maintenant que trois cases afin de loger ces neuf mots dans votre mémoire. Mais attendez, on sonne à la porte. En ouvrant la porte, une personne vous tend un œillet avec son gant bleu. Sur son pantalon vert est brodée une rose magnifique. On remarque aussi que ses bas sont décorés de tulipes jaunes. Construisez-vous une image mentale de ce personnage, lorsque vous le verrez bien, il ne prendra plus qu’une seule case de votre grille de départ. Le travail de votre mémoire devient plus facile.
Ne croyez-vous pas que de telles techniques doivent être enseignées aux élèves dès le préscolaire ?
Robert Lyons
dimanche 8 mars 2009
Au préscolaire : la non-contradiction (2)
Dans Mathadore 302, on pouvait lire une activité qui permet de déceler la capacité d’un élève à reconnaître une contradiction. Voici deux autres problèmes qui ont le même but.
Les segments décalés
Tracez deux segments de droite comme suit.
---------------_________________________
---------------------------__________________________
Les segments doivent être parallèles et de même longueur.
Demandez à l’élève si un des segments est plus long que l’autre ou s’ils sont de même longueur. Les élèves non opératoires répondent habituellement que celui qui est en bas est le plus long car il dépasse à droite. Faites remarquer que l’autre segment dépasse à gauche. Vous verrez l’élève changer d’idée. Il croit désormais que le segment du haut est le plus long car il dépasse à gauche. Faites ressortir que celui qui est en bas dépasse à droite.
L’enfant qui ne réagit pas au conflit cognitif changera encore d’idée et il le refera encore et encore sans voir qu’il se contredit. Par contre, celui qui réagit au conflit cognitif dira rapidement que l’un des segments dépasse à droite mais que l’autre dépasse à gauche. Cela le portera à se demander si les deux segments sont égaux.
Les lions qui ne sont pas des animaux
Montrez l’illustration suivante à l’élève.
Demandez : «Y a-t-il plus de lions ou plus d’animaux?» L’élève non opératoire répondra qu’il y a plus de lions en considérant qu’il y a trois lions et deux animaux (ânes). Demandez à l’élève de vous nommer des animaux. Au besoin demandez-lui si les lions sont des animaux. Il devrait le penser. Demandez-lui de vous montrer les lions, ensuite les animaux. S’il ne vous montre que les ânes, demandez-lui de vous montrer les ânes, ensuite les animaux. Demandez-lui combien il y a d’ânes, ensuite, combien il y a d’animaux. Si l’erreur persiste, ici il dira qu’il y a deux ânes et trois animaux. Il est clair alors que, pour ce problème du moins, l’élève ne voit pas la contradiction.
Si l’élève a vu la contradiction dans au moins une des épreuves décrites dans ce numéro de Mathadore et dans le numéro précédent, il perçoit la contradiction. Il faudra désormais le rendre opératoire en lui proposant d’autres activités que le triangle bleu, les segments décalés et les lions qui ne sont pas des animaux.
Par ailleurs, on comprendra aisément que l’élève qui éprouve des difficultés à percevoir que les lions sont à la fois des lions et des animaux, n’est pas prêt à comprendre que le 2 de 25 représente à la fois des dizaines et des unités. Ce n’est donc pas le temps de le faire travailler sur le groupement et la numération.
Que pensez-vous de cette idée de développer la pensée logique au préscolaire sans nécessairement la lier au symbolisme et aux connaissances mathématiques ?
À vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com
Robert Lyons
Dans Mathadore 302, on pouvait lire une activité qui permet de déceler la capacité d’un élève à reconnaître une contradiction. Voici deux autres problèmes qui ont le même but.
Les segments décalés
Tracez deux segments de droite comme suit.
---------------_________________________
---------------------------__________________________
Les segments doivent être parallèles et de même longueur.
Demandez à l’élève si un des segments est plus long que l’autre ou s’ils sont de même longueur. Les élèves non opératoires répondent habituellement que celui qui est en bas est le plus long car il dépasse à droite. Faites remarquer que l’autre segment dépasse à gauche. Vous verrez l’élève changer d’idée. Il croit désormais que le segment du haut est le plus long car il dépasse à gauche. Faites ressortir que celui qui est en bas dépasse à droite.
L’enfant qui ne réagit pas au conflit cognitif changera encore d’idée et il le refera encore et encore sans voir qu’il se contredit. Par contre, celui qui réagit au conflit cognitif dira rapidement que l’un des segments dépasse à droite mais que l’autre dépasse à gauche. Cela le portera à se demander si les deux segments sont égaux.
Les lions qui ne sont pas des animaux
Montrez l’illustration suivante à l’élève.
Demandez : «Y a-t-il plus de lions ou plus d’animaux?» L’élève non opératoire répondra qu’il y a plus de lions en considérant qu’il y a trois lions et deux animaux (ânes). Demandez à l’élève de vous nommer des animaux. Au besoin demandez-lui si les lions sont des animaux. Il devrait le penser. Demandez-lui de vous montrer les lions, ensuite les animaux. S’il ne vous montre que les ânes, demandez-lui de vous montrer les ânes, ensuite les animaux. Demandez-lui combien il y a d’ânes, ensuite, combien il y a d’animaux. Si l’erreur persiste, ici il dira qu’il y a deux ânes et trois animaux. Il est clair alors que, pour ce problème du moins, l’élève ne voit pas la contradiction.
Si l’élève a vu la contradiction dans au moins une des épreuves décrites dans ce numéro de Mathadore et dans le numéro précédent, il perçoit la contradiction. Il faudra désormais le rendre opératoire en lui proposant d’autres activités que le triangle bleu, les segments décalés et les lions qui ne sont pas des animaux.
Par ailleurs, on comprendra aisément que l’élève qui éprouve des difficultés à percevoir que les lions sont à la fois des lions et des animaux, n’est pas prêt à comprendre que le 2 de 25 représente à la fois des dizaines et des unités. Ce n’est donc pas le temps de le faire travailler sur le groupement et la numération.
Que pensez-vous de cette idée de développer la pensée logique au préscolaire sans nécessairement la lier au symbolisme et aux connaissances mathématiques ?
À vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com
Robert Lyons
dimanche 22 février 2009
Au préscolaire : la non-contradiction (1)
Un des fondements incontournables des mathématiques est la non-contradiction. Cette propriété essentielle est à la base de toutes les preuves, démonstrations, explications et solutions de problèmes mathématiques à tel point que l’incapacité à reconnaître certaines contradictions typiques entre quatre et sept ans peut signaler des apprentissages futurs très limités.
Normalement, le cerveau humain en santé sursaute face à une contradiction et cherche à la résoudre. Or, chez certaines personnes, la contradiction ne dérange pas, elle n’est pas perçue. Il semble que ce problème soit d’ordre neurologique et que les meilleures stratégies pédagogiques et didactiques ne puissent en venir à bout. Heureusement, seulement un individu sur trois cents environ semble en souffrir. Ces individus peuvent être qualifiés correctement d’illogiques. Plusieurs fois cependant on qualifie d’illogiques des élèves dont la logique est peu développée ou des élèves logiques dont la faiblesse est plutôt de nature analogique (Voir Mathadore 301).
Il y a donc lieu de dépister, dès le préscolaire, les enfants qui ne sursautent pas devant des contradictions évidentes. Dans ce but, il faut leur proposer des problèmes qui les conduisent à des solutions contradictoires. En faisant ressortir par la suite ces solutions contradictoires, on observe les réactions de l’élève. S’il passe d’une solution à une autre plus de deux fois sans sembler troublé, il y a lieu de penser que son cerveau accepte la contradiction et, conséquemment, que cet élève sera très limité lors de ses apprentissages en mathématiques surtout. Lorsque ces élèves ne sont pas perçus comme différents, ils conduisent trop d’excellentes enseignantes à douter de leurs capacités pédagogiques, c’est inacceptable. Nous le répétons, la cause du problème est de nature neurologique et même la médecine ne peut y remédier actuellement. Que faire avec ces enfants? D’abord, ajuster nos exigences, ils peuvent apprendre à se débrouiller avec un minimum d’encadrement, cependant, les raisonnements mathématiques, mêmes élémentaires, seront difficiles et, parfois, inaccessibles. Il faudra donc se fier à leur mémoire afin de leur apprendre des trucs, des méthodes, des habitudes qui leur permettront une certaine autonomie dans leur vie quotidienne. Il faudra cependant leur proposer les mêmes démarches que celles qui sont proposées aux autres élèves, une erreur de diagnostic étant toujours possible. Il faut alors être conscient de la haute probabilité d’un échec, tout en espérant la réussite.
Voici une première activité que nous utilisons en vue de dépister ces élèves.
Le triangle bleu
Matériel : Quelques blocs logiques dont au moins deux triangles bleus, un triangle jaune, un triangle rouge, un carré bleu, un carré rouge et quelques cercles.
Remettez les blocs à l’élève. Tendez vos mains espacées vers lui et dites-lui qu’il doit placer les triangles dans votre main droite et les blocs bleus dans l’autre main. Assurez-vous qu’il comprend bien cette consigne et qu’il sait où placer les blocs bleus et les triangles.
Les seuls blocs qui posent un problème sont les triangles bleus. Si l’élève perçoit le problème, il vous demandera quoi faire avec ces pièces, il réagit à la contradiction, il fonctionne logiquement Chez l’enfant de quatre à sept ans, il arrive souvent qu’il ne perçoive pas la contradiction lorsqu’il place un triangle bleu. S’il le place dans la main des «bleus», demandez-lui pourquoi. Il dira que c’est dans cette main qu’il faut placer les bleus. Demandez-lui de quelle forme est ce bloc. Il dira que c’est un triangle. Rappelez-lui alors que les triangles vont dans l’autre main. Il peut alors percevoir la contradiction. Si ce n’est pas le cas, il placera le bloc dans l’autre main.
Demandez-lui alors pourquoi il a placé ce bloc dans cette main, il dira que c’est un triangle. Demandez-lui quelle est la couleur de ce bloc. Il dira qu’il est bleu. Rappelez-lui que les bleus vont dans l’autre main. Certains élèves perçoivent alors la contradiction en mentionnant que ce bloc devrait aller dans les deux mains ou encore en voulant l’exclure de la classification, ce que vous refuserez.
Si l’élève change le bloc de main sans sourciller, recommencez le même manège une troisième et dernière fois. S’il ne perçoit pas la contradiction, cela augure mal. Dans ce cas, il faut lui administrer encore une ou deux autres épreuves portant sur des sujets différents afin de vérifier votre diagnostic. Nous en verrons d’autres la semaine prochaine.
Ce que nous venons de vérifier n’est pas le développement logique de l’élève mais sa capacité à agir logiquement. Il est possible qu’un élève logique éprouve du retard dans le développement de sa logique, mais s’il réagit à la contradiction, ce retard peut être comblé rapidement. En fait, ce retard résulte habituellement d’un manque de stimulations au moyen de certains types de problèmes. Le problème du triangle bleu est un de ces problèmes.
Si les stades de Piaget vous sont familiers, vous remarquerez que ces élèves atteignent ces stades vers la fin de la période pendant laquelle ils doivent y accéder. Présenter aux élèves du préscolaire des activités qui vérifient et développent leur pensée logique leur permet de développer un outil d’apprentissage essentiel. De façon imagée, on se préoccupe de vérifier d’abord si l’élève possède un bon coffre d’outils (réagit-il face à une contradiction), ensuite on développe son habileté à utiliser ses outils (progression dans les stades du développement de la logique). Plus tard, on se préoccupera des œuvres qu’il construira avec ses outils (concepts, habiletés et connaissances mathématiques).
À mon avis, au préscolaire nous devons nous préoccuper du «coffre d’outils» et de l’habileté à s’en servir, c’est dans ce sens que je proposais de développer la pensée analogique il y a quelques semaines et c’est aussi pour cette raison que je propose cette semaine de se préoccuper du fonctionnement logique de l’élève. Certes, une telle orientation conduit à des résultats moins spectaculaires que d’enseigner le dénombrement, le groupement ou encore l’addition et la soustraction sur de petits nombres, mais cela permet de s’assurer que l’élève a développé suffisamment certains outils d’apprentissage et a acquis certaines perceptions qui l’assisteront tout au long de sa scolarité en mathématiques. Ce qui avantage vraiment certains élèves est qu’ils perçoivent différemment des autres leur travail en apprentissage mathématique.
Robert Lyons
dimanche 15 février 2009
Au préscolaire : le groupe analogique (2)
Ce qui me semble le plus important à développer au préscolaire est constitué par un groupe de manifestations qui nécessitent que l’ensemble d’une situation soit prise en compte. Il s’agit d’habiletés complexes telles la créativité, l’esprit de synthèse, l’autonomie, l’humour, la compréhension. Ces habiletés vont au-delà de ce qui est directement perçu, elles interprètent, elles «colorent» l’environnement. Ce qui en ressort est souvent surprenant.
Au préscolaire, nous devrions donc faire vivre aux élèves des activités semblables aux suivantes.
1. Jeux de rôles
L’élève joue à faire comme s’il était :
a) un animal;
b) une personne qu’il connait… voilà une excellente façon d’apprendre comment ils nous perçoivent, une façon de mieux nous connaître… si vous osez;
c) une plante;
d) un objet : un ballon, une porte, un instrument de musique, une automobile…;
e) le conducteur d’une automobile, un danseur, un joueur de flûte, un sportif, une personne qui fait du ménage ou un repas…;
f) une personne triste, joyeuse, fatiguée, une personne qui a peur…;
2. Que faire si…
a) la baignoire déborde;
b) tu veux entrer chez toi et les portes sont verrouillées;
c) il y a un gros orage;
d) ça sent le feu chez toi;
e) tu as de la peine;
f) tu as un jouet qui ne fonctionne plus.
3. Que pourrais-tu faire avec :
a) une vieille chaussure;
b) un petit coffret de bois;
c) une assiette en aluminium;
d) un bout de corde;
e) de la pâte à modeler;
f) des rubans de plusieurs couleurs.
4. À quoi te fait penser :
a) la couleur verte (blanche, bleue…);
b) un triangle;
c) un son aigu (grave);
d) une rivière (un lac, une montagne);
e) une boîte;
f) une marionnette;
g) un instrument de musique;
h) un gâteau.
5. Que veut-on dire par :
a) la tête (ou le pied) d’un arbre;
b) le cœur de la forêt;
c) une colère noire;
d) une idée brillante;
e) une peur bleue;
f) une tête dure;
6. Que se passerait-il :
a) s’il n’y avait plus d’arbres;
b) si rien n’était transparent (n’oubliez pas l’air…);
c) si l’eau ne gelait plus;
d) si nous étions tous pareils.
7. Et aussi :
- Racontez le début d’une histoire aux élèves et demandez-leur d’imaginer la suite.
- Demandez-leur de modifier une histoire connue (Que serait-il arrivé si les trois petits cochons s’étaient abrités dans une tente?).
- Montrez-leur une partie de la photo d’un objet et demandez-leur d’identifier l’objet.
- Demandez-leur d’inventer une histoire dans laquelle figureraient tel personnage connu, un pot de fleur et une bicyclette.
- Demandez-leur d’imaginer ce que serait leur vie sans l’électricité.
- Lorsqu’ils vous questionnent, au lieu de donner une réponse valable, donnez-leur un choix de réponses, quelques-unes étant plausibles d’autres absurdes.
- Jouez-leur des tours afin qu’ils se questionnent avant de vous suivre aveuglément.
- Montrez-leur des illustrations où figurent des illusions d’optique et demandez-leur d’en discuter. Par exemple, les rails de chemin de fer semblent se rapprocher à l’horizon, est-ce possible.
Bref, permettez-leur de «voir» et de penser au-delà des apparences. En résolution de problèmes, en compréhension de textes, la connaissance des données du texte et des questions à résoudre ne suffit pas, il faut imaginer l’ensemble dans lequel ces données jouent un rôle.
Que pensez-vous de prioriser le développement des facultés analogiques au préscolaire ?
À vous !
Robert Lyons
Ce qui me semble le plus important à développer au préscolaire est constitué par un groupe de manifestations qui nécessitent que l’ensemble d’une situation soit prise en compte. Il s’agit d’habiletés complexes telles la créativité, l’esprit de synthèse, l’autonomie, l’humour, la compréhension. Ces habiletés vont au-delà de ce qui est directement perçu, elles interprètent, elles «colorent» l’environnement. Ce qui en ressort est souvent surprenant.
Au préscolaire, nous devrions donc faire vivre aux élèves des activités semblables aux suivantes.
1. Jeux de rôles
L’élève joue à faire comme s’il était :
a) un animal;
b) une personne qu’il connait… voilà une excellente façon d’apprendre comment ils nous perçoivent, une façon de mieux nous connaître… si vous osez;
c) une plante;
d) un objet : un ballon, une porte, un instrument de musique, une automobile…;
e) le conducteur d’une automobile, un danseur, un joueur de flûte, un sportif, une personne qui fait du ménage ou un repas…;
f) une personne triste, joyeuse, fatiguée, une personne qui a peur…;
2. Que faire si…
a) la baignoire déborde;
b) tu veux entrer chez toi et les portes sont verrouillées;
c) il y a un gros orage;
d) ça sent le feu chez toi;
e) tu as de la peine;
f) tu as un jouet qui ne fonctionne plus.
3. Que pourrais-tu faire avec :
a) une vieille chaussure;
b) un petit coffret de bois;
c) une assiette en aluminium;
d) un bout de corde;
e) de la pâte à modeler;
f) des rubans de plusieurs couleurs.
4. À quoi te fait penser :
a) la couleur verte (blanche, bleue…);
b) un triangle;
c) un son aigu (grave);
d) une rivière (un lac, une montagne);
e) une boîte;
f) une marionnette;
g) un instrument de musique;
h) un gâteau.
5. Que veut-on dire par :
a) la tête (ou le pied) d’un arbre;
b) le cœur de la forêt;
c) une colère noire;
d) une idée brillante;
e) une peur bleue;
f) une tête dure;
6. Que se passerait-il :
a) s’il n’y avait plus d’arbres;
b) si rien n’était transparent (n’oubliez pas l’air…);
c) si l’eau ne gelait plus;
d) si nous étions tous pareils.
7. Et aussi :
- Racontez le début d’une histoire aux élèves et demandez-leur d’imaginer la suite.
- Demandez-leur de modifier une histoire connue (Que serait-il arrivé si les trois petits cochons s’étaient abrités dans une tente?).
- Montrez-leur une partie de la photo d’un objet et demandez-leur d’identifier l’objet.
- Demandez-leur d’inventer une histoire dans laquelle figureraient tel personnage connu, un pot de fleur et une bicyclette.
- Demandez-leur d’imaginer ce que serait leur vie sans l’électricité.
- Lorsqu’ils vous questionnent, au lieu de donner une réponse valable, donnez-leur un choix de réponses, quelques-unes étant plausibles d’autres absurdes.
- Jouez-leur des tours afin qu’ils se questionnent avant de vous suivre aveuglément.
- Montrez-leur des illustrations où figurent des illusions d’optique et demandez-leur d’en discuter. Par exemple, les rails de chemin de fer semblent se rapprocher à l’horizon, est-ce possible.
Bref, permettez-leur de «voir» et de penser au-delà des apparences. En résolution de problèmes, en compréhension de textes, la connaissance des données du texte et des questions à résoudre ne suffit pas, il faut imaginer l’ensemble dans lequel ces données jouent un rôle.
Que pensez-vous de prioriser le développement des facultés analogiques au préscolaire ?
À vous !
Robert Lyons
dimanche 8 février 2009
Vers un programme pour le préscolaire
Depuis que les enfants de cinq ans fréquentent l’école à temps plein, la tendance à débuter, dès le préscolaire, les apprentissages amorcés autrefois en première année, s’est généralisée.
Pendant les années soixante-dix, proposer le début «précoce» de ces apprentissages était presque considéré comme scandaleux, empêchant les élèves de cinq ans «de vivre leur vie d’enfant». Pour une raison inconnue, à six ans, lorsque l’élève amorçait sa première année, il était alors accepté et nécessaire de mettre fin à cette «vie d’enfant».
Par ailleurs, les garderies et les maternelles quatre ans se sont multipliées et, dans ces établissements, les activités courantes des classes préscolaires publiques ont été de plus en plus exploitées. Ceci, en plus de la transformation de classes préscolaires à mi-temps en classes à temps plein, a placé ces classes devant un vide en ce qui concerne les activités de type mathématique. Il en est résulté de nouvelles activités qui ne devaient ni répéter ce que les élèves de cinq ans avaient vu ni empiéter sur le programme de première année. Ces activités ne me semblent pas toujours adéquates.
En ce sens, une activité très répandue au préscolaire s’appelle le jeu des cent jours. En gros, on tente d’apprendre aux élèves à compter et à dénombrer jusqu’à cent en utilisant le groupement par dix tel que ce qui sera enseigné en première année. Malheureusement, il s’agit d’un des pires choix possibles. Voyons cela de plus près.
Chaque jour, les élèves placent un bâtonnet, qui représente un jour, à un endroit prévu à cet effet. Jusque là, aucun problème, mais la suite, laquelle varie certainement d’une classe à une autre, peut représenter certains risques de problèmes d’apprentissages éventuels. Il faut bien comprendre que, selon l’utilisation de l’activité, les risques peuvent être ou non présents.
Premier risque – le groupement
Lorsque, après dix jours, les élèves attachent des bâtonnets afin de former leur première dizaine, ils posent un geste qui n’a aucune pertinence. En fait, le groupement sert à mettre de l’ordre lors du dénombrement de quantités suffisamment grandes pour qu’une erreur puisse subvenir et lorsqu’il est plus rapide de faire des regroupements et de dénombrer ensuite plutôt que de simplement recommencer le dénombrement. D’après nos recherches, enfants comme adultes ressentent le besoin de regrouper lorsque les éléments à dénombrer sont d’au moins trente à soixante. Cela signifie que le groupement, lorsque seulement une dizaine d’éléments sont présents, doit être habituellement imposé et sa pertinence n’est pas perçue par l’élève. Le risque ? Qu’il considère que les mathématiques sont souvent constituées d’actions difficiles à justifier et qu’il faille souvent attendre que des consignes lui soient données.
Deuxième risque – la numération écrite
L’activité des cent jours utilise habituellement un tableau où figurent les nombres de 1 à 100. Or, derrière ces nombres se cachent des concepts souvent inconnus de l’élève de cinq ans. Prenons les nombres vingt-quatre (24) et quatre-vingts (80), les deux mêmes mots forment deux expressions qui désignent des quantités différentes. Dans un cas, vingt est additionné à quatre alors que dans l’autre ces nombres sont multipliés. Cette distinction, ainsi que le sens de l’addition et de la multiplication, doivent être connus afin d’interpréter correctement la numération orale. Il faudrait s’en assurer avant d’aller trop loin en ce domaine.
Par ailleurs, en numération écrite la valeur de position implique une multiplication de sorte que les deux chiffres 3 de 33 ne représentent pas le même nombre d’éléments. Une interprétation correcte d’un nombre à deux chiffres suppose que l’élève a compris ce qui se cache derrière la valeur de position. Est-ce le cas lorsque les élèves apprennent à reconnaître les nombres sur un tableau de numération pendant l’activité des cent jours ? Le risque ? Que la mémoire remplace la compréhension et le raisonnement lors de cette activité. Que cela conduise à percevoir qu’en mathématiques la mémoire occupe un rôle beaucoup trop important.
En conclusion, la numération positionnelle est apparue il y a environ quinze siècles et elle était l’aboutissement du développement de nombreux concepts mathématiques pendant quelques millénaires. Ajoutons qu’en France, entre autres, il y a à peine cinq siècles, ce sont les chiffres romains qui étaient utilisés et non le système de numération que nous connaissons.
Ainsi, l’activité des cent jours devrait être précédée de plusieurs activités qui développent des concepts figurant dans le programme du premier cycle. Il y a lieu de se demander si sa place n’est pas en première année plutôt qu’au préscolaire.
À vous !
Robert Lyons
Depuis que les enfants de cinq ans fréquentent l’école à temps plein, la tendance à débuter, dès le préscolaire, les apprentissages amorcés autrefois en première année, s’est généralisée.
Pendant les années soixante-dix, proposer le début «précoce» de ces apprentissages était presque considéré comme scandaleux, empêchant les élèves de cinq ans «de vivre leur vie d’enfant». Pour une raison inconnue, à six ans, lorsque l’élève amorçait sa première année, il était alors accepté et nécessaire de mettre fin à cette «vie d’enfant».
Par ailleurs, les garderies et les maternelles quatre ans se sont multipliées et, dans ces établissements, les activités courantes des classes préscolaires publiques ont été de plus en plus exploitées. Ceci, en plus de la transformation de classes préscolaires à mi-temps en classes à temps plein, a placé ces classes devant un vide en ce qui concerne les activités de type mathématique. Il en est résulté de nouvelles activités qui ne devaient ni répéter ce que les élèves de cinq ans avaient vu ni empiéter sur le programme de première année. Ces activités ne me semblent pas toujours adéquates.
En ce sens, une activité très répandue au préscolaire s’appelle le jeu des cent jours. En gros, on tente d’apprendre aux élèves à compter et à dénombrer jusqu’à cent en utilisant le groupement par dix tel que ce qui sera enseigné en première année. Malheureusement, il s’agit d’un des pires choix possibles. Voyons cela de plus près.
Chaque jour, les élèves placent un bâtonnet, qui représente un jour, à un endroit prévu à cet effet. Jusque là, aucun problème, mais la suite, laquelle varie certainement d’une classe à une autre, peut représenter certains risques de problèmes d’apprentissages éventuels. Il faut bien comprendre que, selon l’utilisation de l’activité, les risques peuvent être ou non présents.
Premier risque – le groupement
Lorsque, après dix jours, les élèves attachent des bâtonnets afin de former leur première dizaine, ils posent un geste qui n’a aucune pertinence. En fait, le groupement sert à mettre de l’ordre lors du dénombrement de quantités suffisamment grandes pour qu’une erreur puisse subvenir et lorsqu’il est plus rapide de faire des regroupements et de dénombrer ensuite plutôt que de simplement recommencer le dénombrement. D’après nos recherches, enfants comme adultes ressentent le besoin de regrouper lorsque les éléments à dénombrer sont d’au moins trente à soixante. Cela signifie que le groupement, lorsque seulement une dizaine d’éléments sont présents, doit être habituellement imposé et sa pertinence n’est pas perçue par l’élève. Le risque ? Qu’il considère que les mathématiques sont souvent constituées d’actions difficiles à justifier et qu’il faille souvent attendre que des consignes lui soient données.
Deuxième risque – la numération écrite
L’activité des cent jours utilise habituellement un tableau où figurent les nombres de 1 à 100. Or, derrière ces nombres se cachent des concepts souvent inconnus de l’élève de cinq ans. Prenons les nombres vingt-quatre (24) et quatre-vingts (80), les deux mêmes mots forment deux expressions qui désignent des quantités différentes. Dans un cas, vingt est additionné à quatre alors que dans l’autre ces nombres sont multipliés. Cette distinction, ainsi que le sens de l’addition et de la multiplication, doivent être connus afin d’interpréter correctement la numération orale. Il faudrait s’en assurer avant d’aller trop loin en ce domaine.
Par ailleurs, en numération écrite la valeur de position implique une multiplication de sorte que les deux chiffres 3 de 33 ne représentent pas le même nombre d’éléments. Une interprétation correcte d’un nombre à deux chiffres suppose que l’élève a compris ce qui se cache derrière la valeur de position. Est-ce le cas lorsque les élèves apprennent à reconnaître les nombres sur un tableau de numération pendant l’activité des cent jours ? Le risque ? Que la mémoire remplace la compréhension et le raisonnement lors de cette activité. Que cela conduise à percevoir qu’en mathématiques la mémoire occupe un rôle beaucoup trop important.
En conclusion, la numération positionnelle est apparue il y a environ quinze siècles et elle était l’aboutissement du développement de nombreux concepts mathématiques pendant quelques millénaires. Ajoutons qu’en France, entre autres, il y a à peine cinq siècles, ce sont les chiffres romains qui étaient utilisés et non le système de numération que nous connaissons.
Ainsi, l’activité des cent jours devrait être précédée de plusieurs activités qui développent des concepts figurant dans le programme du premier cycle. Il y a lieu de se demander si sa place n’est pas en première année plutôt qu’au préscolaire.
À vous !
Robert Lyons
dimanche 1 février 2009
Les quantités (2)
La séquence habituelle d’apprentissages scolaires est telle que, dès l’âge de six ans, l’élève doit résoudre des équations telle 3 + ___ = 5. Malgré ses succès, il devra attendre d’avoir douze ans avant de se mesurer à 3 + x = 5. Il est étonnant de voir cette nouvelle forme, du même problème, causer des difficultés à des élèves pour qui la forme apprise à six ans ne cause aucun problème. En fait, deux raisons semblent expliquer cela. La première est qu’ils ont entendu certains adultes parler de l’algèbre comme s’il s’agissait d’un domaine où l’échec était normal. La seconde est le temps mis entre l’apprentissage de la première représentation et celui de la seconde, soit six années. Certains élèves ne peuvent comprendre que nous ayons espacé de six années l’apprentissage de représentations fort semblables de la même chose. Ils en concluent que ces deux représentations ne peuvent s’associer tout en ne voyant pas comment le x de 3 + x = 5 peut représenter autre chose que le nombre 2.
Prenons une illustration simple dont nous allons quantifier l’aire.
La séquence habituelle d’apprentissages scolaires est telle que, dès l’âge de six ans, l’élève doit résoudre des équations telle 3 + ___ = 5. Malgré ses succès, il devra attendre d’avoir douze ans avant de se mesurer à 3 + x = 5. Il est étonnant de voir cette nouvelle forme, du même problème, causer des difficultés à des élèves pour qui la forme apprise à six ans ne cause aucun problème. En fait, deux raisons semblent expliquer cela. La première est qu’ils ont entendu certains adultes parler de l’algèbre comme s’il s’agissait d’un domaine où l’échec était normal. La seconde est le temps mis entre l’apprentissage de la première représentation et celui de la seconde, soit six années. Certains élèves ne peuvent comprendre que nous ayons espacé de six années l’apprentissage de représentations fort semblables de la même chose. Ils en concluent que ces deux représentations ne peuvent s’associer tout en ne voyant pas comment le x de 3 + x = 5 peut représenter autre chose que le nombre 2.
Prenons une illustration simple dont nous allons quantifier l’aire.
Si nous décidons que le petit carré est l’unité, cette illustration représente le nombre 425 puisque le rectangle est équivalent à dix petits carrés et le grand carré, à cent petits carrés. Par ailleurs, si nous décidons que c’est le grand carré qui est l’unité, nous avons le nombre 4,25. Ou encore 42,5 si le rectangle non carré représente l’unité. Tant que la décision n’est pas prise nous pouvons tout simplement écrire 4x + 2y + 5z. Mais, puisque ces formes sont construites au moyen de deux longueurs différentes seulement, nous pouvons nommer ces longueurs x, pour la plus longue et y, pour la plus petite. Dans ce cas, 4x² + 2xy + 5y² représente la quantité illustrée.
Évidemment, si l’unité de quantification est la suivante :
alors la figure originale représente la moitié de cette unité et sa valeur numérique est ½. Mais cette valeur serait ¼ si l’unité de quantification possédait une étendue équivalente à dix-sept grands carrés. Mathématiques = créativité!
Bref, les mêmes quantités physiques peuvent être représentées par des entiers, des fractions ou des nombres algébriques. Ne vaudrait-il pas mieux alors de développer le sens des nombres et des opérations à partir de matériel concret et d’étudier ensuite les divers systèmes symboliques qui les représentent ?
Quelles différences y a-t-il entre :
- 3 dizaines + 4 dizaines = 7 dizaines ;
- 3 quarts + 4 quarts = 7 quarts ;
- 3x + 4x = 7x ?
La seule différence se situe dans la représentation symbolique.
Alors, ce que je propose est que l’apprentissage soit d’abord construit à partir de représentations concrètes de quantités, les réglettes Cuisenaire ou les tuiles algébriques par exemples. Ensuite, que les élèves apprennent à nommer en même temps ces quantités au moyen de différents systèmes symboliques : nombres entiers, fractions, nombres algébriques.
Cela signifie qu’en première année, l’élève apprendrait à résoudre aussi bien 3 + ___ = 5 que 3 + x = 5, et à additionner 3 + 5 = ___ comme 3a + 5a = ___. Que vers l’âge de neuf ou dix ans, il apprendrait que 156 ÷ 13 = 12 tout comme (1 c + 5 d + 6 u) ÷ (1 d + 3 u) = 1 d + 2 u ou encore que (1x² + 5xy + 6y²) ÷ (1x + 3y) = 1x + 2y. Ayant expérimenté cela avec de nombreux élèves, même avec des élèves dits «en difficulté», je peux vous assurer que cela ne pose aucun problème sérieux.
Mais, j’y pense, ce serait semblable à ce que vit l’enfant de sa naissance à l’âge de douze mois environ, il apprend à connaître son environnement sans pouvoir en parler. Ou encore ce que vivent ces enfants de deux ou trois ans qui apprennent en parallèle deux ou trois langues. Chaque nouveau mot, qu’elle qu’en soit la langue, est d’abord associé à un objet, à une action. Ces enfants ne traduisent pas ces nouveaux mots dans une autre langue, ils apprennent à nommer directement chaque action ou chaque objet dans chaque langue.
En fait, ce que je propose est de développer d’abord des concepts et de les nommer par la suite avec, s’il y a lieu, les divers systèmes symboliques des mathématiques au lieu de tenter de développer des concepts à partir de leurs représentations symboliques. Avec le système actuel, on enseigne trop souvent aux élèves «à parler et à écrire» sans qu’ils sachent de quoi il est question. C’est cette incapacité d’associer le symbolisme avec la réalité qui les empêche de voir qu’en mathématiques la différence entre ce qui est appris avec plusieurs années d’intervalle ne réside que dans le symbolisme.
À vous sur http://wwwmathadore.blogspot.com/
Robert Lyons
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